Sistemi con i logaritmi – Esercizio 1

Sistemi in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} 				\log_2 x - \log_2 y = 2\\ 				x-2y=1 			\end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned}  & \begin{cases} 	\log_2 x - \log_2 y = 2\\ 	x-2y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	\log_2 \dfrac{x}{y} = 2\\\\ 	x-2y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	\dfrac{x}{y} = 4\\\\ 	x-2y=1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} x=4y\\ x=1+2y \end{cases} \end{aligned}\]

Per confronto abbiamo

    \[\begin{cases} 	x=4y\\ 	4y=1+2y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	x=4y\\ 	y=\dfrac{1}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} x=2\\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{S: \left(2,\dfrac{1}{2}\right)}\]

ed è accettabile poiché le condizioni di esistenza impongono x>0 e y>0.


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli