Sistemi con i logaritmi – Esercizio 1

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} \log_2 x - \log_2 y = 2\\ x-2y=1 \end{cases}\]

 

Soluzione

Risolviamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} \log_2 x - \log_2 y = 2\\ x-2y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \log_2 \dfrac{x}{y} = 2\\\\ x-2y=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{x}{y} = 4\\\\ x-2y=1 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=4y\\ x=1+2y \end{cases} \end{aligned}\]

Per confronto abbiamo

    \[\begin{cases} x=4y\\ 4y=1+2y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=4y\\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=2\\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{S: \left(2,\dfrac{1}{2}\right)}\]

ed è accettabile poiché le condizioni di esistenza impongono x>0 e y>0.


Fonte: Matematica.blu 3 – Zanichelli