Esercizio. 
Trova il valore della costante di decrescita esponenziale per un elemento il cui tempo di dimezzamento (cioè il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento) è di 
giorni.
Trova il valore della costante di decrescita esponenziale per un elemento il cui tempo di dimezzamento (cioè il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento) è di giorni.
Soluzione
La legge di decrescita radioattività è del tipo
![\[m(t) = m_0 e^{kt}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1a29188546395a5e2da10d86a391912_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
indica la massa dell’elemento al tempo 
, 
è la massa iniziale, 
è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e indica il tempo. \\
Sappiamo che
![\[m(30) = \dfrac{m_0}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-710ad407839df91a7e78f295758ed7f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi, dato che
![\[m(30) = m_0 \; e^{30 \, k}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfb7655964b2ff5c4e7a9a29d5541a70_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
allora
![\[m_0 \; e^{30 \, k} = \dfrac{m_0}{2} \quad \Rightarrow \quad e^{30k} = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 30k = \ln \dfrac{1}{2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-475de1bd1c36237e3356fe97b3623eaa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[k = - \dfrac{\ln 2}{30}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b1272a22d2a3605a13bf0fb6f54d977_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La costante è negativa come ci aspettavamo, poiché stiamo parlando di un decadimento nel tempo.
Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini