Modelli di crescita e decadimento – Esercizio 4

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Trova il valore della costante di decrescita esponenziale per un elemento il cui tempo di dimezzamento (cioè il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento) è di 30 giorni.

 

Soluzione

La legge di decrescita radioattività è del tipo

    \[m(t) = m_0 e^{kt}\]

dove m(t) indica la massa dell’elemento al tempo t, m_0 è la massa iniziale, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo. \\
Sappiamo che

    \[m(30) = \dfrac{m_0}{2}\]

quindi, dato che

    \[m(30) = m_0 \; e^{30 \, k}\]

allora

    \[m_0 \; e^{30 \, k} = \dfrac{m_0}{2} \quad \Rightarrow \quad e^{30k} = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 30k = \ln \dfrac{1}{2}\]

da cui

    \[k = - \dfrac{\ln 2}{30}\]

La costante è negativa come ci aspettavamo, poiché stiamo parlando di un decadimento nel tempo.


Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini