Scarica gli esercizi svolti
Ottieni il documento contenente gli esercizi dedicati ai modelli di crescita e decadimento risolti tramite l’uso dei logaritmi.
Esercizio 
. Il tempo di dimezzamento del cobalto radioattivo è di circa 
anni. Se oggi abbiamo 
grammi di cobalto radioattivo, quanto ne sarà rimasto dopo 
anni?
. Il tempo di dimezzamento del cobalto radioattivo è di circa anni. Se oggi abbiamo grammi di cobalto radioattivo, quanto ne sarà rimasto dopo anni?Svolgimento.
La legge di decrescita radioattività è del tipo
![\[m(t) = m_0 e^{kt}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1a29188546395a5e2da10d86a391912_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
indica la massa dell’elemento al tempo 
, 
è la massa iniziale, 
è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e indica il tempo.
Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento, quindi sappiamo che
![\[m(5.27)=m_0 \; e^{5.27 \, k} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{m_0}{2} = m_0 \; e^{5.27 \, k} \quad \Rightarrow \quad k = - \dfrac{\ln 2}{5.27}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c13096a248f04c88cda007a5b9b9c39_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Come ci aspettavamo 
poiché parliamo di decrescita (la massa sta diminuendo nel tempo).
Dunque, avendo trovato la costante, otteniamo
![\[m(10) = m_0 \; e^{10 \, k} \quad \Rightarrow \quad m(10) = 100 \, \text{gr} \; e^{-10 \, \frac{\ln2}{5.27}} = 26.9 \, \text{gr}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2b7958fe61c676fbd3faabfefcc53cd_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini