Modelli di crescita e decadimento – Esercizio 3

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Il tempo di dimezzamento del cobalto radioattivo è di circa 5.27 anni. Se oggi abbiamo 100 grammi di cobalto radioattivo, quanto ne sarà rimasto dopo 10 anni?

 

Soluzione

La legge di decrescita radioattività è del tipo

    \[m(t) = m_0 e^{kt}\]

dove m(t) indica la massa dell’elemento al tempo t, m_0 è la massa iniziale, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo.
Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento, quindi sappiamo che

    \[m(5.27)=m_0 \; e^{5.27 \, k} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{m_0}{2} = m_0 \; e^{5.27 \, k} \quad \Rightarrow \quad k = - \dfrac{\ln 2}{5.27}\]

Come ci aspettavamo k<0 poiché parliamo di decrescita (la massa sta diminuendo nel tempo).
Dunque, avendo trovato la costante, otteniamo

    \[m(10) = m_0 \; e^{10 \, k} \quad \Rightarrow \quad m(10) = 100 \, \text{gr} \; e^{-10 \, \frac{\ln2}{5.27}} = 26.9 \, \text{gr}\]


Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini