Modelli di crescita e decadimento – Esercizio 2

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Il numero di batteri di una colonia cresce esponenzialmente. Alle 14 di ieri il numero di batteri era 1000 e alle 16 era 9000. Quanti batteri ci saranno alle 18?

 

Soluzione

La legge di crescita di una colonia di batteria è del tipo

    \[N(t) = N_0 e^{kt}\]

dove N(t) indica il numero di batteri all’istante t, N_0 è il numero di batteri al tempo iniziale t=0, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo. \\
Abbiamo

    \[N(14)=N_0 e^{14k}\]

Alle ore 16, avremo

    \[N(16) = N_0 e^{16k}\]

ma sappiamo anche che

    \[N(14) = 1000 \qquad \mbox{e} \qquad N(16) = 9000\]

per cui ponendo a sistema

    \[\begin{cases} N_0 e^{14k}=1000\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} e^{2k} = 9\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k = \dfrac{\ln 9}{2} \\\\ N_0 = 81000 \end{cases}\]


Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini