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Ottieni il documento contenente gli esercizi dedicati ai modelli di crescita e decadimento risolti tramite l’uso dei logaritmi.
Esercizio 
. Una colonia di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Se il numero di batteri raddoppia in 
ore, dopo quanto tempo il numero di batteri sarà il triplo?
. Una colonia di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Se il numero di batteri raddoppia in ore, dopo quanto tempo il numero di batteri sarà il triplo?Svolgimento.
La legge di crescita di una colonia di batteria è del tipo
![\[N(t) = N_0 e^{kt}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e55683a0eae58666286fccc2ccc232c0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
indica il numero di batteri all’istante 
, 
è il numero di batteri al tempo iniziale 
, 
è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e indica il tempo.
Al tempo generico 
abbiamo
![\[N(t_0) = N_0 e^{kt_0}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e48e6421a6504678c121286618d78069_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e dopo tre ore dal tempo abbiamo
![\[N(t_0+3) = N_0 e^{k(t_0+3)}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b150c078d25ad16d4817403b15302c19_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da quanto richiesto, cioè che dopo tre ore il numero di batteri raddoppia, imponiamo
![\[\begin{aligned} \underbrace{N(t_0+3)}_{\text{\small{Batteri dopo $3$ ore}}} = \underbrace{2N(t_0)}_{\text{\small{Batteri raddoppiati}}} & \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{k(t_0+3)} = 2 N_0 e^{kt_0} \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{kt_0} e^{3k} = 2 N_0 e^{kt_0}\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \; e^{3k} = 2 \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \quad \Leftrightarrow \quad e^{3k} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \ln e^{3k} = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3k = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad k = \dfrac{\ln 2}{3}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea19a40afa565734ffc5acd37cb6f6c2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi il numero di batteri sarà triplo quando
![\[3N_0 = N_0 e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad 3\; \cancel{N_0} = \cancel{N_0} \; e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad kt^\star=\ln 3 \quad \Rightarrow \quad t^\star = \dfrac{\ln 3}{k}= \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot 3 = 4,75 \, \text{h}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab2b98d6f8fba444ae710efe4ba502f1_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: L. Sasso – La matematica a colori Ed. Verde – Petrini