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Logaritmi: esercizi misti svolti

Esercizi misti in Logaritmi

Home » Logaritmi: esercizi misti svolti

Consigliamo la lettura dell’articolo Proprietà dei logaritmi: la guida essenziale per una introduzione chiara e concisa sui logaritmi e loro proprietà, contenente anche una lista di materiale per approfondire.
 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi misti sui logaritmi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar). Disporre in ordine crescente i seguenti numeri senza l’ausilio di una calcolatrice, considerando che e \approx 2,71:

\[z=\log 4, \quad t=\sqrt{e}.\]

Svolgimento.

Grazie alla monotonia della potenza con base e, si ha

(1) \begin{equation*} \sqrt{e}> \log 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\log 4} = 4. \end{equation*}

Dalla stima e \approx 2,71 > \frac{8}{3} segue \sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}>\frac{5}{3}> \frac{3}{2} e quindi

(2) \begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40}{9} > 4. \end{equation*}

Si deduce quindi

\[\boxcolorato{superiori}{z < t.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si consideri che 2^3 = 8, 2^5 = 32, 3^2 = 9, e 3^3 = 27. Cosa possiamo dedurre sul numero \log_2(3)?

\[\quad\]

  1. È compreso tra \frac{4}{3} e \frac{3}{2}.

    2.  

  2. È compreso tra \frac{3}{2} e \frac{5}{3}.

    3.  

  3. È compreso tra \frac{5}{3} e 2.

    4.  

  4. È compreso tra 2 e 3.

Svolgimento.

Ricordiamo innanzitutto che il logaritmo (con base a > 1) è una funzione crescente del suo argomento. Sfruttando il suggerimento del testo, abbiamo:

\[ \begin{aligned} 27 < 32 {} & \implies 3^3 < 2^5 \implies 3\log_2(3) < 5 {} & \implies \log_2(3) < \frac{5}{3}; \\ 9 > 8 {} & \implies 3^2 > 2^3 \implies 2\log_2(3) > 3 {} & \implies \log_2(3) > \frac{3}{2}. \end{aligned} \]

La risposta è quindi la

\[\boxcolorato{superiori}{2.}\]


 
 

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