Logaritmi – Esercizi misti

Esercizi misti in Logaritmi

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Sommario

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Raccolta di esercizi misti sui logaritmi.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Disporre in ordine crescente i seguenti numeri senza l’ausilio di una calcolatrice, considerando che $e \approx 2,71$ :

$z=\ln 4, \quad t=\sqrt{e}.$

Svolgimento.

Grazie alla monotonia della potenza con base $e$ , si ha

(1) $\begin{equation*} \sqrt{e}> \ln 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\ln 4} = 4. \end{equation*}$

Dalla stima $e \approx 2,71 > \frac{8}{3}$ segue $\sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}>\frac{5}{3}> \frac{3}{2}$ e quindi

(2) $\begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40}{9} > 4. \end{equation*}$

Si deduce quindi

$\boxcolorato{superiori}{z < t.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri che $2^3 = 8$ , $2^5 = 32$ , $3^2 = 9$ , e $3^3 = 27$ . Cosa possiamo dedurre sul numero $\log_2(3)$ ?

$\quad$

È compreso tra $\frac{4}{3}$ e $\frac{3}{2}$ .

È compreso tra $\frac{3}{2}$ e $\frac{5}{3}$ .

È compreso tra $\frac{5}{3}$ e $2$ .

È compreso tra $2$ e $3$ .

Svolgimento.

Ricordiamo innanzitutto che il logaritmo (con base $a > 1$ ) è una funzione crescente del suo argomento. Sfruttando il suggerimento del testo, abbiamo:

$\begin{aligned} 27 < 32 {} & \implies 3^3 < 2^5 \implies 3\log_2(3) < 5 {} & \implies \log_2(3) < \frac{5}{3}; \\ 9 > 8 {} & \implies 3^2 > 2^3 \implies 2\log_2(3) > 3 {} & \implies \log_2(3) > \frac{3}{2}. \end{aligned}$

La risposta è quindi la

$\boxcolorato{superiori}{2.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dati $a$ e $b$ reali positivi tali che

$4(\log_{10} a)^2 + (\log_{10}b)^2 = 1,$

qual è il più grande possibile valore di $a$ ?

Svolgimento.

Posto $A = \log_{10}(a)$ e $B = \log_{10}(b)$ , la condizione imposta corrisponde ad un’ellisse nel piano $(A,B)$ , centrata nell’origine e con semiasse orizzontale di lunghezza $1/2$ . Il massimo valore di $a$ si ha in corrispondenza del massimo valore di $A$ , che è proprio $A = 1/2$ . Quindi il massimo di $a = 10^A$ è

$\boxcolorato{superiori}{10^{1/2} = \sqrt{10}.}$

$\quad$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza usare la calcolatrice, stabilire quale dei seguenti numeri è il più piccolo:

$\fbox{a}\;\log_{10} (\pi) , \quad \fbox{b}\;\sqrt{\log_{10}(\pi^2)}, \quad \fbox{c}\;\left[\dfrac{1}{\log_{10}(\pi)}\right]^3, \quad \fbox{d}\;\dfrac{1}{\log_{10}\left(\sqrt{\pi}\right)}.$

Svolgimento.

Posto $x = \log_{10} (\pi)$ , dato che $1 < \pi < 10$ , abbiamo $0 < x < 1$ . Questo ci permette di concludere immediatamente che $1/[\log_{10}(\pi)] > 1$ , e quindi:

$\begin{gathered} \left[\frac{1}{\log_{10}(\pi)}\right]^3 > 1; \\ \frac{1}{\log_{10}\left(\sqrt{\pi}\right)} = \frac{2}{\log_{10}(\pi)} > 2. \end{gathered}$

Questo ci dice che $\fbox{a} < \fbox{c}$ e $\fbox{a} < \fbox{d}$ . Infine, essendo $x < 2$ :

$\sqrt{\log_{10}(\pi^2)} = \sqrt{2\cdot x} > \sqrt{x\cdot x} = x,$

cioè $\fbox{a} < \fbox{b}$ . Graficamente:

$\quad$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{a.}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, stabilire quale tra i seguenti numeri è il più piccolo.

$\left(\sqrt{3}\right)^3, \quad \log_3\left(9^2\right), \quad \left(3\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^2, \quad \log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right].$

Svolgimento.

Valutiamo e confrontiamo i quattro numeri:

$\left(\sqrt{3}\right)^3 = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} > \sqrt{16} = 4.$

$\log_3\left(9^2\right) = \log_3\left(3^4\right) = 4.$

$\left(3\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^2 = \left(3\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} > 4.$

$\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right] = \log_2\left[\log_2\left(2^{15}\right)\right] = \log_2(15) < \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4.$

\medskip L’unico numero minore di 4 è $\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right]$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\log_2\left[\log_2\left(8^5\right)\right].}$

$\quad$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_{x^2+2}(4-5x^2-6x^3) = 2.$

Svolgimento.

Innanzitutto è necessario stabilire le condizioni di esistenza dell’equazione. La base del logaritmo deve essere sempre positiva e diversa da 1, che è una condizione sempre verificata perché $x^2+2 \geq 2$ . In secondo luogo, l’argomento $P(x)$ del logaritmo deve essere positivo:

(3) $\begin{equation*} P(x) = 4-5x^2-6x^3 > 0. \end{equation*}$

Sebbene non impossibile da risolvere, questa equazione non è neppure immediata (per chi fosse curioso, la soluzione è $x < 2/3$ ). In realtà, a noi non serve strettamente risolvere questa equazione, ma ci basta tenere in mente la condizione (3) per verificare che le soluzioni trovate siano accettabili.

Osserviamo a questo punto che, per definizione di logaritmo, l’equazione di partenza è equivalente alla seguente (purché siano rispettate le condizioni di esistenza):

$4-5x^2-6x^3 = (x^2+2)^2.$

Infatti, la scrittura $\log_a(b) = c$ vuol dire che $a^c = b$ . Semplificando e fattorizzando:

$\begin{gathered} 4-5x^2-6x^3 = x^4 + 4x^2 + 4; \\ x^2(x^2+6x+9) = 0; \\ x^2(x+3)^2 = 0. \end{gathered}$

Le soluzioni sono quindi $x = 0$ e $x = -3$ . Ci resta solo da verificare che siano accettabili, cioè compatibili con la condizione (3). In effetti, abbiamo $P(0) = 4$ e $P(-3) = 4-5\cdot9+6\cdot27 = 121$ , che sono entrambi numeri positivi, e quindi accettabili. Le soluzioni sono quindi

$\boxcolorato{superiori}{x=0, \quad x=-3.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, stabilire quale dei seguenti numeri è il più grande.

$\quad$

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ .

$\dfrac{5}{4}$ .

$\dfrac{\sqrt{10!}}{3\cdot6!}$ .

$\dfrac{\log_2(30)}{\log_3(85)}$ .

$\dfrac{1+\sqrt{6}}{3}$ .

Svolgimento.

Confrontiamo le varie opzioni che ci sono presentate.

$\quad$

$\fbox{2}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Riportiamo a denominatore comune:
$\frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} > \frac{\sqrt{25}}{4} = \frac{5}{4}.$

$\fbox{3}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Portando tutto sotto radice, espandendo i fattoriali, e semplificando i numerosi fattori comuni, si ha:
$\frac{\sqrt{10!}}{3\cdot6!} = \sqrt{\frac{(5\cdot2)\cdot(3^2)\cdot(2^3)\cdot7\cdot(2\cdot3)\cdot5\cdot(2^2)\cdot3\cdot2}{3^2\cdot(2\cdot3)^2\cdot5^2\cdot(2^2)^2\cdot3^2\cdot2^2}} = \frac{\sqrt{7}}{3} < \frac{\sqrt{7}}{2}.$

$\fbox{4}$ rispetto a $\fbox{2}$ . Sfruttando il fatto che la funzione $\log_2(x)$ è monotona crescente, abbiamo:
$\frac{\log_2(30)}{\log_3(85)} < \frac{\log_2(32)}{\log_3(81)} = \frac{\log_2(2^5)}{\log_3(3^4)} = \frac{5}{4}.$

$\fbox{5}$ rispetto a $\fbox{1}$ . Elevando al quadrato ambo i membri, osserviamo che:
$\frac{1+\sqrt{6}}{3} < \frac{\sqrt{7}}{2} \iff \frac{7+2\sqrt{6}}{9} < \frac{7}{4} \iff 8\sqrt{6} < 35.$

Dato che $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$ , si ha $8\sqrt{6} < 24 < 35$ , e quindi la disuguaglianza originale è verificata.

Mettendo assieme questi risultati, si conclude che il numero più grande è

$\boxcolorato{superiori}{\frac{\sqrt{7}}{2}.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Siano $a$ , $b$ , $c$ numeri reali positivi, con $a,b \ne 1$ . Stabilire sotto quale condizione l’equazione

$\log_b\left[(b^x)^x\right] + \log_a\left(\frac{c^x}{b^x}\right) + \log_a\left(\frac{1}{b}\right)\log_a(c) = 0$

ammette una radice di molteplicità doppia.

Svolgimento.

Ricordiamo alcune proprietà delle potenze e dei logaritmi:

$\begin{aligned} (b^x)^x & = b^{x\cdot x} = b^{x^2}; \\ \log(c^x) & = x\log(c); \\ \log_a(c/b) & = \log_a(c)-\log_a(b). \end{aligned}$

Possiamo allora riscrivere l’equazione assegnata nel seguente modo:

$x^2 + x\log_a\left(\frac{c}{b}\right) - \log_a(b)\log_a(c) = 0.$

Questa è un’equazione di secondo grado, che ammette una soluzione doppia se e solo se il suo discriminante $\Delta$ è nullo:

$\begin{aligned} \Delta = {} & \left[\log_a\left(\frac{c}{b}\right)\right]^2 + 4\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \left[\log_a(c) - \log_a(b)\right]^2 + 4\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \log_a^2(c) + \log_a^2(b) + 2\log_a(b)\log_a(c) = \\ = {} & \left[\log_a(b)+\log_a(c)\right]^2 = \\ = {} & \left[\log_a(bc)\right]^2. \end{aligned}$

Imponendo $\Delta = 0$ , si conclude che $\log_a(bc) = 0$ , cioè

$\boxcolorato{superiori}{bc = 1.}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Tenendo presente che

$\begin{aligned} \log_{10}(2) \approx 0\text{,3010} & \quad \text{(4 cifre decimali corrette)}, \\ 10^{\text{0,2}} < 2 \end{aligned}$

stabilire, senza usare la calcolatrice, la validità di una delle seguenti affermazioni

$\quad$

$2^{100}$ inizia con un 1 ed ha 30 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 2 ed ha 30 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 1 ed ha 31 cifre.

$2^{100}$ inizia con un 2 ed ha 31 cifre.

Svolgimento.

Non è difficile vedere che il numero di cifre (in base decimale) di un numero $x$ è dato da $N = \lfloor \log_{10}(x)\rfloor + 1$ (dove $\lfloor z \rfloor$ rappresenta la parte intera di $z$ ). Infatti, un numero $x$ di $N$ cifre è tale che $10^{N-1} \leq x < 10^{N}$ . Passando ai logaritmi, dunque:

$N-1 \leq \log_{10}(x) < N,$

e quindi, per definizione di parte intera,

$\lfloor \log_{10}(x)\rfloor = N - 1.$

Usando questa relazione, abbiamo quindi che, posto $x = 2^{100}$ :

$N = \lfloor \log_{10}(x)\rfloor + 1 = \lfloor 100\log_{10}(2)\rfloor + 1 = \lfloor\text{30,1}\rfloor + 1 = 31.$

Per determinare la prima cifra di $x$ , sfruttiamo l’altro suggerimento fornito nel testo. Innanzitutto, scriviamo $\log_{10}(2) = 0\text{,3010} + \varepsilon$ , con $|\varepsilon| < 10^{-4}$ . Proseguiamo poi così:

$2^{100} = 10^{100\log_{10}(2)} = 10^{\text{30,1}+100\varepsilon} = 10^{30}\cdot10^{\text{0,1}+100\varepsilon}.$

Ma, dato che $0 < \text{0,}1 + 100\,\varepsilon < 0\text{,2}$ , si ha:

$10^{30} < 2^{100} < 10^{30}\cdot 10^{\text{0,2}} < 2\cdot10^{30}.$

Tutte le disuguaglianze sono strette, per cui concludiamo che la prima cifra di $2^{100}$ è necessariamente 1. Si noti che questa disuguaglianza è anche sufficiente a dimostrare che $2^{100}$ ha 31 cifre, per cui la prima parte della soluzione è ridondante. Ci pareva però interessante riportare la formula che restituisce il numero di cifre. In definitiva, la risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{3.}}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{1/4}\!\Bigl(-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}\Bigr) =-1+\log_{1/4}\!\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr).$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi risultano sempre positivi (per ogni $x\in\mathbb{R}$ ) e quindi non pongono altre restrizioni. Sommandovi $1$ otteniamo

$\log_{1/4}\!\Bigl(-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}\Bigr) -\log_{1/4}\!\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr)= -1 .$

Con la regola $\log_{b}A-\log_{b}B=\log_{b}\!\bigl(A/B\bigr)$ si ha

$\log_{1/4}\!\Bigl( \frac{-\tfrac1{3^{2-x}}+3^{x}}{\,2^{x-3}+2^{x}} \Bigr)=-1,$

e poiché $\log_{1/4}C=-1$ equivale a $C=(1/4)^{-1}=4$ , ne segue

$-\frac{1}{3^{2-x}}+3^{x}=4\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr).$

Riducendo ciascun membro a fattor comune:

$3^{x}-3^{x-2}=4\bigl(2^{x-3}+2^{x}\bigr)\; \Longrightarrow\; \frac{8}{9}\,3^{x}=4\cdot\frac{9}{8}\,2^{x},$

ossia

$\frac{3^{x}}{2^{x}}=\frac{9/2}{8/9}=\frac{81}{16}=(\tfrac32)^4.$

Da $(3/2)^{x}=(3/2)^4$ segue immediatamente $x=4$ .

L’argomento di ciascun logaritmo rimane positivo anche per $x=4$ , per cui l’unica soluzione reale dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{\,4\,\}.}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{\log_{\frac13}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1)}{\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}=0.$

Svolgimento.

Per prima cosa si stabiliscono le condizioni di esistenza, poiché ciascun argomento di logaritmo deve risultare positivo e il denominatore non può annullarsi:

$2x+4>0,\qquad x>0,\qquad x-1>0,\qquad \frac{x}{2}>0,\qquad \log_{3}\!\left(\frac{x}{2}\right)\neq0.$

Dalle prime quattro disuguaglianze segue $x>1$ ; dall’ultima discende $\tfrac{x}{2}\neq1$ , ossia $x\neq2$ . Pertanto il dominio è

$D=\{x\in\mathbb R : x>1,\; x\neq2\}.$

L’attenzione si concentra sul numeratore, dato che l’equazione può annullarsi soltanto quando esso vale zero mentre il denominatore rimane diverso da zero (condizione già soddisfatta nel dominio):

$N(x)=\log_{\frac13}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1).$

Il primo logaritmo viene convertito alla base $3$ mediante il cambio di base; poiché $\log_{3}\!\bigl(\tfrac13\bigr)=-1$ , si ottiene

$\log_{\frac13}(2x+4)=\frac{\log_{3}(2x+4)}{\log_{3}(\tfrac13)}=-\log_{3}(2x+4).$

Il numeratore si riscrive quindi come

$N(x)=-\log_{3}(2x+4)+\log_{3}x+\log_{3}(x-1) =\log_{3}\!\left(\frac{x(x-1)}{2x+4}\right).$

Affinché $N(x)=0$ , è necessario che l’argomento del logaritmo sia uguale a $1$ :

$\frac{x(x-1)}{2x+4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=2x+4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-4=0.$

La risoluzione del trinomio fornisce

$x=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_1=4,\;x_2=-1.$

Il valore $x_2=-1$ non appartiene al dominio, mentre $x_1=4$ lo soddisfa;

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{\,4\,\}.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert+\log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert+\log_{\frac14}\lvert x-1\rvert-1=0,$

Svolgimento.

Si stabilisce dapprima il dominio dell’equazione

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert+\log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert+\log_{\frac14}\lvert x-1\rvert-1=0,$

richiedendo che ciascun argomento dei logaritmi sia strettamente positivo. Gli argomenti si annullano per $x=-1$ e $x=\pm1$ ; di conseguenza

$D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.$

Si uniformano le basi logaritmiche osservando che

$\log_{\frac14}u=-\log_{4}u \quad\text{e}\quad \lvert x^{2}-1\rvert=\lvert(x-1)(x+1)\rvert \Longrightarrow \log_{4}\lvert x^{2}-1\rvert=\log_{4}\lvert x-1\rvert+\log_{4}\lvert x+1\rvert.$

Sostituendo si ottiene

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert +\bigl(\log_{4}\lvert x-1\rvert+\log_{4}\lvert x+1\rvert\bigr) -\log_{4}\lvert x-1\rvert-1=0,$

che si semplifica in

$2\log_{4}^{2}\lvert x+1\rvert +\log_{4}\lvert x+1\rvert-1=0.$

Posta la variabile $y=\log_{4}\lvert x+1\rvert$ , si ottiene il trinomio

$2y^{2}+y-1=0, \qquad \Delta=9, \qquad y_{1}=\frac12,\;y_{2}=-1.$

La prima radice fornisce $\lvert x+1\rvert=4^{1/2}=2$ e quindi $x=-3$ oppure $x=1$ ; la seconda radice implica $\lvert x+1\rvert=4^{-1}=\tfrac14$ e quindi $x=-\tfrac54$ oppure $x=-\tfrac34$ . Confrontando con il dominio, si esclude $x=1$ .

Pertanto l’insieme soluzione risulta

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{-3,\,-\dfrac54,\,-\dfrac34\right\}.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}\!\bigl(9^{\,x + \frac{3}{2}} \;-\; 2\bigr) \;=\; x + 1.$

Svolgimento.

Si impone per prima cosa la positività dell’argomento del logaritmo

$9^{x+\frac32}-2>0 \;\Longrightarrow\; 3^{\,2x+3}>2 \;\Longrightarrow\; x>\frac{\log_{3}2-3}{2},$

così da individuare il dominio

$D=\Bigl\{\,x\in\mathbb R:\;x>\dfrac{\log_{3}2-3}{2}\Bigr\}.$

Si osserva quindi che

$\log_{3}\!\Bigl(9^{x+\frac32}-2\Bigr)=x+1 \;\Longrightarrow\; 9^{x+\frac32}-2=3^{\,x+1},$

ossia

$3^{\,2x+3}-3^{\,x+1}-2=0.$

Ponendo la variabile ausiliaria $y=3^{\,x}$ (con $y>0$ grazie alla definizione di potenza a base positiva) l’equazione si traduce nel quadrinomio

$27y^{2}-3y-2=0,$

la cui risoluzione fornisce

$y=\frac{3\pm15}{54} \;\Longrightarrow\; y_{1}=\frac13,\quad y_{2}=-\frac29.$

L’unica soluzione accettabile risulta $y=\tfrac13$ perché $y>0$ ; ritornando alla variabile originaria si ottiene

$3^{\,x}=\frac13 \;\Longrightarrow\; x=\log_{3}\!\Bigl(\frac13\Bigr)=-1.$

Tale valore soddisfa la condizione di dominio $x>\dfrac{\log_{3}2-3}{2}$ ; si conclude pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\{-1\}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2\,\log\!\sqrt[4]{2^{x}} \;=\; 3x\,\log 2 \;-\; \log 2 \;-\; \log 2^{1 - x} \;+\; \log\!\bigl(4\cdot 2^{x}\bigr).$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi, essendo potenze o multipli positivi di $2$ , risultano sempre maggiori di zero, quindi l’espressione è definita per ogni $x\in\mathbb R$ .

La radice quarta può essere riscritta come potenza esponenziale: $\sqrt[4]{2^{x}}=(2^{x})^{1/4}=2^{x/4}$ . Ne segue

$2\log\sqrt[4]{2^{x}} \;=\; 2\log\!\bigl(2^{x/4}\bigr) \;=\; 2\cdot\frac{x}{4}\log 2 \;=\; \frac{x}{2}\log 2.$

Si procede ora a ridurre il secondo membro. Poiché $\log 2^{1-x}=(1-x)\log 2$ e $\log(4\cdot2^{x})=\log 4+\log 2^{x}=2\log 2+x\log 2$ , l’intera somma diventa

$3x\log 2-\log 2-(1-x)\log 2+2\log 2+x\log 2 \;=\; 5x\log 2,$

dato che $-\log 2-(1-x)\log 2+2\log 2$ annulla la parte costante.

L’equazione si riduce quindi a

$\frac{x}{2}\log 2 = 5x\log 2.$

Il fattore $\log 2$ è positivo e può essere eliminato, ottenendo

$\frac{x}{2}=5x \quad\Longrightarrow\quad \frac{9x}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.$

Il valore trovato è compatibile con il dominio precedentemente individuato, pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{\,0\,\}.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$2-3x\log_{4}x+2\bigl(\log_{4}9-1\bigr)=0.$

Svolgimento.

Il logaritmo in base $4$ è definito per ogni $x$ perché l’argomento $3^{x}$ è sempre positivo, pertanto non sorgono restrizioni preliminari sul dominio.

Si osserva che $\log_{4}3^{x}=x\log_{4}3$ ; l’espressione diventa allora

$2-3x^{2}\log_{4}3+2\bigl(\log_{4}9-1\bigr)=0.$

Poiché $9=3^{2}$ , risulta $\log_{4}9=2\log_{4}3$ ; sostituendo si ottiene

$2-3x^{2}\log_{4}3+2\bigl(2\log_{4}3-1\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; -3x^{2}\log_{4}3+4\log_{4}3=0.$

Il fattore $\log_{4}3$ è positivo e può essere eliminato senza modificare l’insieme delle soluzioni, lasciando

$-3x^{2}+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac43 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Entrambi i valori sono accettabili perché non violano alcuna condizione di esistenza. Pertanto l’insieme delle soluzioni risulta

$\boxcolorato{superiori}{S=\Bigl\{-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr\}.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Stabilire se la seguente disuguaglianza è vera:

$\left(\log_{24}48\right)^{2}+\left(\log_{12}54\right)^{2}>4.$

Svolgimento.

Effettuando il cambiamento dei logaritmi in base $2$ abbiamo

$\log_{24}48 = \frac{\log_{2} 48}{\log_2 24} = \frac{\log_{2}(2^4\cdot 3)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \frac{\log_2 3 + 4}{\log_2 3 + 3}.$

Similmente si ottiene

$\log_{12}54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 12} = \frac{\log_2 (3^3 \cdot 2)}{\log_2 (3\cdot 2^2)} = \frac{3 \log_2 3 + 1}{\log_2 3 + 2}$

Osserviamo che, da $3^2>2^3$ segue $\log_2 3> \frac{3}{2}$ . Inoltre, da $2^5>3^3$ si ottiene $\log_2 3 < \frac{5}{3}$ , dunque una stima per $\log_2 3$ è

$\frac{3}{2} < \log_2 3 < \frac{5}{3}.$

Da ciò si ricava

$\log_2 3+4> \frac{3}{2}+4, \qquad \log_2 3+3<\frac{5}{3}+3, \qquad 3\log_2 3+2> \frac{9}{2}+2, \qquad \log_2 3+2< \frac{5}{3}+2$

e quindi

$\begin{aligned} \left(\frac{\log_2 3+4}{\log_2 3+3}\right)^{2}+\left(\frac{3\log_2 3+2}{\log_2 3+2}\right)^{2} & > \left ( \frac{\frac{11}{3}}{\frac{14}{3}}\right )^2 + \left ( \frac{\frac{13}{2}}{\frac{11}{3}}\right )^2 \\ & = \frac{9}{4}\left ( \frac{11^2}{14^2} + \frac{13^2}{11^2} \right ) \\ & > \frac{9}{4} \left ( \frac{3}{5} + \frac{4}{3} \right ) \\ & = \frac{87}{20}>4, \end{aligned}$

dove la seconda disuguaglianza segue da $\frac{121}{196}> \frac{120}{200}=\frac{5}{3}$ e $\frac{169}{121}> \frac{164}{123}= \frac{4}{3}$ . La disuguaglianza richiesta dalla traccia è quindi vera.

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