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Equazioni logaritmiche elementari: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

Home » Equazioni logaritmiche elementari: esercizi svolti

Consigliamo la lettura dell’articolo Proprietà dei logaritmi: la guida essenziale per una introduzione chiara e concisa sui logaritmi e loro proprietà, contenente anche una lista di materiale per approfondire.
 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni logaritmiche elementari.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Testi degli esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[ \log_{\frac{1}{49}} x = \frac{1}{4} .\]

Svolgimento.

Partiamo dall’equazione data:

\[ \log_{\frac{1}{49}} x = \frac{1}{4} \]

Riscriviamo l’equazione in forma esponenziale utilizzando la definizione di logaritmo:

\[ x = \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{1}{4}}. \]

Poiché \frac{1}{49} = 7^{-2}, possiamo scrivere:

\[\boxcolorato{superiori}{x = \left( 7^{-2} \right)^{\frac{1}{4}} = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{7}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log(x - 1) - \log(x + 2) = \log 3. \]

Svolgimento.

Poiché il logaritmo richiede argomento positivo, occorre innanzitutto che

\[ \begin{cases} x-1>0 \\ x+2>0 \end{cases} \iff x>1. \]

Applicando la proprietà \log a-\log b=\log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr) si ottiene

\[ \log\!\Bigl(\tfrac{x-1}{x+2}\Bigr)=\log 3, \]

e, poiché il logaritmo è funzione iniettiva (a parità di base), ne segue

\[ \frac{x-1}{x+2}=3 \iff x-1 = 3x+6 \iff 2x=-7 \iff x=-\frac72 \]

Tale valore, tuttavia, non appartiene al dominio x>1, pertanto l’equazione non possiede soluzioni reali:

\[\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}\]


 
 

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