Equazione logaritmica elementare – Esercizio 5

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere l’equazione

$\log(5-x) + \log x = \log(x-2) + \log 2.$

Svolgimento.

Condizioni di esistenza. Bisogna porre gli argomenti dei logaritmi tutti contemporaneamente maggiori di zero:

$\begin{cases} 5-x>0\\ x>0\\ x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} x<5\\ x>0 x>2 \end{cases}$

quindi

$\boxed{C.E. \quad 2<x<5.}$

Risoluzione. Utilizzando le proprietà dei logaritmi riduciamo l’equazione ad avere un solo logaritmo a destra e a sinistra del segno di uguaglianza:

$\log(5-x) + \log x = \log(x-2) + \log 2 \quad \Rightarrow \quad \log(5-x)x = \log2(x-2)\quad \Rightarrow \quad (5-x)x = 2(x-2) \quad \Rightarrow \quad x^2-3x-4=0$