Equazione logaritmica elementare – Esercizio 5

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\log(5-x) + \log x = \log(x-2) + \log 2\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre gli argomenti dei logaritmi tutti contemporaneamente maggiori di zero:

    \[\begin{cases} 5-x>0\\ x>0\\ x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} x<5\\ x>0 x>2 \end{cases}\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad 2<x<5}\]

Risoluzione.
Utilizzando le proprietà dei logaritmi riduciamo l’equazione ad avere un solo logaritmo a destra e a sinistra del segno di uguaglianza:

    \[\log(5-x) + \log x = \log(x-2) + \log 2 \quad \Rightarrow \quad \log(5-x)x = \log2(x-2)\quad \Rightarrow \quad (5-x)x = 2(x-2) \quad \Rightarrow \quad x^2-3x-4=0\]

da cui

    \[x = \dfrac{3\pm5}{2} \quad \Rightarrow \quad x=4 \; \vee \; x=-1\]

Conclusione.
Dei valori trovati, solo 4 è accettabile perché rientra nelle condizioni di esistenza, cioè è compreso tra 2 e 5, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = 4}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini