Equazione logaritmica elementare – Esercizio 4

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\log_3 (4-x) +\log_3(x+6)=2\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre gli argomenti dei logaritmi tutti contemporaneamente maggiori di zero:

    \[\begin{cases} 	4-x>0\\ 	x+6>0 \end{cases} \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	x<4\\ 	x>-6 \end{cases}\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad -6<x<4}\]

Risoluzione.
Utilizzando le proprietà dei logaritmi riduciamo l’equazione ad avere un solo logaritmo a destra e a sinistra del segno di uguaglianza:

    \[\log_3 (4-x) +\log_3(x+6)=2 \quad \Rightarrow \quad 				\log_3 (4-x)(x+6) = \log_3 9 \quad \Rightarrow \quad -x^2-6x+4x+24= 9 \quad \Rightarrow \quad  x^2+2x-15=0\]

da cui

    \[x = \dfrac{-2\pm8}{2} \quad \Rightarrow \quad x=-5 \; \vee \; x=3\]

Conclusione.
I valori trovati sono entrambi accettabili poiché rientrano nelle condizioni di esistenza, cioè sono maggiori di 1, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = -5, \; x = 3}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini