Equazione logaritmica elementare – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\log_2 x - \log_2 (x-1)=2\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre gli argomenti dei logaritmi tutti contemporaneamente maggiori di zero:

    \[\begin{cases} 	x>0\\ 	x-1>0 \end{cases} \Rightarrow \quad  \begin{cases} 		x>0\\ 	x>1 \end{cases}\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x>1}\]

Risoluzione.
Utilizzando le proprietà dei logaritmi riduciamo l’equazione ad avere un solo logaritmo a destra e a sinistra del segno di uguaglianza:

    \[\log_2 x - \log_2 (x-1)=2 \quad \Rightarrow \quad 		\log_2 \dfrac{x}{x-1} =\log_2 4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x}{x-1} = 4 \quad \Rightarrow \quad x=4x-4\quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4}{3}\]

Conclusione.
Il valore trovato è accettabile poiché rientra nelle condizioni di esistenza, cioè è maggiore di 1, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = \dfrac{4}{3}}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini