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Disequazioni logaritmiche elementari: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

Home » Disequazioni logaritmiche elementari: esercizi svolti

Consigliamo la lettura dell’articolo Proprietà dei logaritmi: la guida essenziale per una introduzione chiara e concisa sui logaritmi e loro proprietà, contenente anche una lista di materiale per approfondire.
 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni logaritmiche elementari.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la disequazione

\[ \log_3(x+1) \geq 0. \]

Svolgimento.

Osserviamo innanzitutto che, affinché l’espressione abbia senso, l’argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi

\[ x+1>0 \iff x>-1. \]

Osservando che 0=\log_3 1, possiamo scrivere la disequazione come

\[ \log_3(x+1) \geq \log_3 1. \]

Dato che la base 3 del logaritmo è maggiore di 1, il logaritmo è una funzione crescente, dunque la disuguaglianza tra i logaritmi si verifica se e solo se vale la stessa disuguaglianza tra gli argomenti. Dunque la disequazione è equivalente a

\[ x+1\geq 1 \iff x \geq 0. \]

La soluzione è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{S=[0,+\infty). }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la disequazione

\[ \log_{\frac{1}{2}}(2-x) < -3. \]

Svolgimento.

Affinché il logaritmo sia definito occorre che il suo argomento sia positivo:

\[ 2-x>0 \iff x<2. \]

Osserviamo che -3=\log_{\frac{1}{2}} \left (\frac{1}{2}\right )^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8. Dunque la disequazione si riscrive come

\[ \log_{\frac{1}{2}} (2-x)< \log_{\frac{1}{2}} 8. \]

Dato che la base del logaritmo è minore di 1, la funzione è strettamente decrescente, ovvero i risultati dei logaritmi stanno in ordine inverso rispetto agli argomenti. Dunque la disequazione equivale a

\[ 2-x>8 \iff x<-6. \]

Dato che tali soluzioni soddisfano la condizione di esistenza x<2, sono tutte accettabili. Dunque

\[\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-6). }\]


 
 

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