Disequazioni logaritmiche elementari

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni logaritmiche elementari.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_3(x+1) \geq 0.$

Svolgimento.

Osserviamo innanzitutto che, affinché l’espressione abbia senso, l’argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi

$x+1>0 \iff x>-1.$

Osservando che $0=\log_3 1$ , possiamo scrivere la disequazione come

$\log_3(x+1) \geq \log_3 1.$

Dato che la base $3$ del logaritmo è maggiore di $1$ , il logaritmo è una funzione crescente, dunque la disuguaglianza tra i logaritmi si verifica se e solo se vale la stessa disuguaglianza tra gli argomenti. Dunque la disequazione è equivalente a

$x+1\geq 1 \iff x \geq 0.$

La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{S=[0,+\infty). }$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_{\frac{1}{2}}(2-x) < -3.$

Svolgimento.

Affinché il logaritmo sia definito occorre che il suo argomento sia positivo:

$2-x>0 \iff x<2.$

Osserviamo che $-3=\log_{\frac{1}{2}} \left (\frac{1}{2}\right )^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8$ . Dunque la disequazione si riscrive come

$\log_{\frac{1}{2}} (2-x)< \log_{\frac{1}{2}} 8.$

Dato che la base del logaritmo è minore di $1$ , la funzione è strettamente decrescente, ovvero i risultati dei logaritmi stanno in ordine inverso rispetto agli argomenti. Dunque la disequazione equivale a

$2-x>8 \iff x<-6.$

Dato che tali soluzioni soddisfano la condizione di esistenza $x<2$ , sono tutte accettabili. Dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-6). }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2 x - \log_2(x-1) \leq 2.$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano ben definiti è necessario che i loro argomenti siano strettamente positivi, ovvero deve essere verificato il sistema

$\begin{cases} x>0 \\ x-1>0 \end{cases} \iff x>1.$

Riarrangiando i termini, osservando che $2=\log_2 4$ e usando la proprietà secondo cui la somma dei logaritmi è pari al logaritmo del prodotto si ottiene la disequazione equivalente

$\log_2 x \leq \log_2 4 + \log_2(x-1) = \log_2 4(x-1).$

Dato che la base del logaritmo è maggiore di $1$ , la funzione logaritmo è crescente, quindi affinché sia verificata la disuguaglianza occorre e basta che la medesima disequazione sia soddisfatta dagli argomenti:

$x \leq 4(x-1) \iff 3x \geq 4 \iff x \geq \frac{3}{4}.$

Osserviamo che dobbiamo scartare le soluzioni minori o uguali a $1$ in quanto non soddisfano le condizioni di esistenza. Dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=(1,+\infty). }$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2(1+x) + \log_2 (2x) \geq 2.$

Svolgimento.

Determiniamo le condizioni di esistenza dei logaritmi, che richiedono che i rispettivi argomenti siano positivi:

$\begin{cases} 1+x>0 \\ 2x>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>-1 \\ x>0 \end{cases} \iff x>0.$

Notando che $2=\log_2 4$ e applicando al primo membro la proprietà secondo la quale la somma di logaritmi è pari al logaritmo del prodotto, si ottiene la disequazione equivalente

$\log_2 2x(1+x) \geq \log_2 4.$

Dato che la funzione logaritmo in base $2$ è crescente in quanto la base è maggiore di $1$ , tale disuguaglianza è verificata se e solo se gli argomenti dei logaritmi soddisfano lo stesso ordine, dunque

$2x(1+x) \geq 4 \iff x^2+x-2 \geq 0 \iff x \leq -2 \,\, \vee \,\, x \geq 1.$

Le soluzioni minori o uguali a $-2$ vanno scartate in quanto non soddisfano la condizione di esistenza $x>0$ . Quindi la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=[1,+\infty). }$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{3}\!\bigl(2 - 5x\bigr) > 2.$

Svolgimento.

Affinché il logaritmo esista è necessario che l’argomento sia positivo; da ciò segue la condizione di esistenza

$2-5x>0 \iff x<\frac{2}{5}.$

Affinché la disequazione data dalla traccia sia valida, poiché la funzione $\log_3$ è crescente (in quanto $3>1$ ), è necessario è sufficiente che

$2-5x>3^2=9 \iff x<-\frac{7}{5}.$

Tutte queste soluzioni soddisfano la condizione di esistenza e quindi sono accettabili. La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{S=\left(-\infty,\,-\dfrac75\right). }$

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\frac{1}{3}}(4x-3) > -1.$

Svolgimento.

Affinché il logaritmo sia definito, l’argomento dev’essere positivo, dunque la disequazione è dunque equivalente al sistema

$\begin{cases} 4x-3>0\\[4pt] \log_{\frac13}(4x-3)>-1 \end{cases} \iff \begin{cases} 4x-3>0\\[4pt] \log_{\frac13}(4x-3)> \log_{\frac{1}{3}}3. \end{cases}$

Poiché la base è $a=\frac13$ con $0<a<1$ , la funzione logaritmo è decrescente; dunque la disuguaglianza tra i logaritmi equivale alla disuguaglianza opposta tra gli argomenti:

$\begin{cases} x>\dfrac{3}{4}\\[10pt] 4x-3<3 \end{cases} \iff \begin{cases} x>\dfrac{3}{4}\\[10pt] x<\dfrac{3}{2}. \end{cases}$

Intersecando le due condizioni otteniamo

$\boxcolorato{superiori}{S=\left(\frac34,\;\frac32\right).}$

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{5}\!\left(\frac{2 - x}{x + 3}\right) < \log_{5} 4.$

Svolgimento.

Affinché il logaritmo sia definito occorre che l’argomento sia positivo; la disequazione è perciò equivalente al sistema

$\begin{cases} \dfrac{2-x}{x+3}>0\\[10pt] \log_{5}\!\left(\dfrac{2-x}{x+3}\right)<\log_{5}4. \end{cases}$

Poiché la base è $5>1$ , la funzione logaritmo è crescente e la disequazione è equivalente alla disuguaglianza con lo stesso verso tra gli argomenti:

$\begin{cases} \dfrac{2-x}{x+3}>0\\[10pt] \dfrac{2-x}{x+3}<4 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{2-x}{x+3}>0\\[10pt] \dfrac{2-x-4x-12}{x+3}<0 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{2-x}{x+3}>0\\[10pt] \dfrac{x+2}{x+3}>0. \end{cases}$

Risolvendo le disequazioni fratte come in [1], il sistema è equivalente a

$\begin{cases} -3<x<2 \\[3pt] x<-2\;\vee\;x>-3. \end{cases}$

L’intersezione delle due condizioni fornisce l’intervallo di soluzioni:

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(-2,\;2\bigr).}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\frac{1}{10}}\!\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) > \log_{\frac{1}{10}}\!\left(\frac{x}{x + 1}\right).$

Svolgimento.

Poiché la base del logaritmo è $a=\tfrac1{10}<1$ , la funzione logaritmo è decrescente e dunque la disequazione è equivalente alla disuguaglianza opposta tra gli argomenti:

$\frac{x+1}{x-1} \;<\; \frac{x}{x+1} \iff \frac{(x+1)^2-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}<0 \iff \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}<0.$

Le condizioni di esistenza richiedono inoltre

$\begin{cases} \dfrac{x+1}{x-1}>0\\[10pt] \dfrac{x}{x+1}>0\\[10pt] x\neq\pm1 \end{cases} \iff \begin{cases} x<-1 \,\vee\, x>1\\[10pt] x<-1 \,\vee\, x>0\\[10pt] x\neq\pm1 \end{cases} \iff x<-1 \,\vee\, x>1.$

Il segno di $\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}$ si studia analogamente, come trattato in [1]. Il segno della frazione risulta negativo negli intervalli $(-\,\infty,-1)$ e $(-\tfrac13,1)$ . Intersecando con le condizioni di esistenza si ottiene

$\boxcolorato{superiori}{S = (-\infty,-1).}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\frac14}\!\bigl(x^{2}-6\bigr)\;-\;\log_{\frac14}\!\bigl(x-3\bigr) > -1.$

Svolgimento.

I logaritmi sono ben definiti se gli argomenti sono strettamente positivi; inoltre, in tal caso, si può usare la proprietà dei logaritmi secondo cui la differenza dei logaritmi è pari al logaritmo del quoziente. La disequazione è quindi equivalente al sistema

$\begin{cases} x^{2}-6>0\\[10pt] x-3>0\\[10pt] \log_{\frac{1}{4}}\left ( \dfrac{x^2-6}{x-3}\right )>\log_{\frac{1}{4}}4 \end{cases} \iff \begin{cases} x<-\sqrt{6} \,\vee \, x>\sqrt{6}\\[10pt] x>3\\[10pt] \dfrac{x^2-6}{x-3} <4 , \end{cases}$

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che la funzione $\log_{\frac{1}{4}}$ è decrescente essendo la base minore di $1$ . Dalle prime due condizioni si ottiene immediatamente $x>3$ . L’ultima disuguaglianza può essere risolta moltiplicando ambo i membri per il denominatore della frazione, che abbiamo imposto essere positivo:

$x^{2}-6<4(x-3) \iff x^{2}-4x+6<0.$

Poiché il trinomio $x^{2}-4x+6$ ha discriminante $\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot6 = -8<0$ , esso è sempre positivo; dunque la disequazione $x^{2}-4x+6<0$ non ammette soluzioni reali. Dunque la disequazione non ammette soluzioni:

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log\!\bigl(x+5\bigr)\;-\;\log\!\bigl(4 - x\bigr)\;+\;\log\!\bigl(3x - 1\bigr) \;>\; \log\!\bigl(3x - 1\bigr)\;-\;\log\!\bigl(x + 4\bigr).$

Svolgimento.

I logaritmi esistono quando gli argomenti sono strettamente positivi, dunque le condizioni di esistenza equivalgono al sistema

$\begin{cases} x+5>0 \\ 4-x>0 \\ 3x-1>0 \\ x+4>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>-5 \\ x<4 \\ x>\frac{1}{3} \\ x>-4 \end{cases} \iff \frac{1}{3}<x<4.$

Ora che abbiamo determinato le condizioni di esistenza, dedichiamoci alla disequazione. Innanzitutto l’addendo $\log(3x-1)$ compare in entrambi i membri e può essere eliminato, lasciando

$\log(x+5)-\log(4-x)+\log(x+4)>0.$

Grazie alle proprietà dei logaritmi si ottiene

$\log\!\left(\frac{(x+5)(x+4)}{4-x}\right)>0.$

Poiché la base $e$ del logaritmo è maggiore di $1$ , l’espressione a sinistra supera zero esattamente quando il suo argomento è maggiore di $1$ :

$\frac{(x+5)(x+4)}{4-x}>1.$

Grazie alle condizioni di esistenza il denominatore $4-x$ è positivo, perciò si possono moltiplicare ambo i membri della disuguaglianza senza invertirne il verso, ricavando

$(x+5)(x+4)>4-x, \iff x^{2}+10x+16>0.$

L’equazione $x^{2}+10x+16=0$ ha radici $-8$ e $-2$ ; di conseguenza il trinomio risulta positivo per $x<-8$ oppure $x>-2$ . Poiché l’intervallo di esistenza $\bigl(\tfrac13,4\bigr)$ è interamente contenuto in $x>-2$ , la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac13,\,4\bigr).}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{1}{2}\,\log_{\frac13}\!\bigl(25 - x\bigr)\;-\; \log_{\frac13}\!\bigl(x - 5\bigr) \;<\; 0.$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi, dunque le condizioni di esistenza sono date dal sistema

$\begin{cases} 25-x>0 \\ x-5>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x<25 \\ x>5 \end{cases} \iff 5<x<25.$

Moltiplicando per $2$ e sfruttando la proprietà $k\log_a b=\log_a b^{k}$ la disequazione equivale a

$\log_{1/3}(25-x)<\log_{1/3}\!\bigl((x-5)^2\bigr).$

Poiché la base del logaritmo è $a=\frac13<1$ , la funzione è decrescente e dunque l’ultima disequazione equivale alla disuguaglianza opposta tra gli argomenti:

$25-x>(x-5)^2 \iff x^2-9x<0 \iff 0<x<9.$

Intersecando con le condizioni di esistenza si ottiene la soluzione

$\boxcolorato{superiori}{S=(5,9).}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log\!\left(2 + \frac{1}{x}\right)\;-\;\log\!\left(2 - \frac{1}{x}\right) \;<\; \log\!\bigl(2x + 1\bigr)\;-\;\log\!\bigl(1 - 2x\bigr).$

Svolgimento.

Gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi, dunque le condizioni di esistenza sono date dal sistema

$\begin{cases} 2+\dfrac{1}{x}>0 \\[8pt] 2-\dfrac{1}{x}>0 \\[8pt] 2x+1>0 \\[8pt] 1-2x>0 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{1}{x}>-2 \\[10pt] \dfrac{1}{x}<2 \\[10pt] x>-\dfrac{1}{2} \\[10pt] x<\dfrac{1}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2} \,\vee \,x>0 \\[10pt] x<0 \,\vee\, x> \frac{1}{2} \\[10pt] x>-\dfrac{1}{2} \\[10pt] x<\dfrac{1}{2} \end{cases}$

La prima e la terza condizione sono compatibili solo per $x>0$ , mentre la seconda e la quarta sono compatibili solo per $x<0$ . Dunque le quattro condizioni sono incompatibili. Poiché l’espressione non è ben definita per nessun valore reale della variabile $x$ , la disequazione non possiede soluzioni

$\boxcolorato{superiori}{S = \emptyset. }$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\sqrt{3}}\!\bigl(1 - x^{2}\bigr)\;-\;\log_{\sqrt{3}}\!\bigl(3 - x\bigr) < 2.$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano definiti occorre che

$\begin{cases} 1-x^2>0 \\ 3-x>0 \end{cases} \iff \begin{cases} -1<x<1 \\ x<3 \end{cases} \iff -1<x<1.$

Sfruttando $2=\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}^2=\log_{\sqrt{3}}3$ e usando la proprietà dei logaritmi per cui la somma dei logaritmi è pari al logaritmo del prodotto, la disequazione è equivalente a

$\log_{\sqrt{3}}(1-x^2)< \log_{\sqrt{3}} \Big(3(3-x)\Big) \iff 1-x^2< 3(3-x) \iff x^2-3x+8>0,$

che è sempre verificata in quanto il discriminante del polinomio di secondo grado è negativo. Intersecando con le condizioni di esistenza si ottiene dunque

$\boxcolorato{superiori}{S = (-1,1).}$

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{10}\bigl(x^{2}+17x+16\bigr) \;<\; 2$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, dunque

$x^2+17x+16>0 \iff (x+16)(x+1)>0 \iff x<-16 \,\vee \, x>-1.$

La disequazione è equivalente a

$\log_{10}(x^2+17x+16)< \log_{10} 10^2$

che, ricordando che la base $10>1$ e quindi la funzione $\log_{10}$ è crescente, è equivalente a

$x^2+17x+16 < 100 \iff x^2+17x-84<0 \iff (x+21)(x-4)<0 \iff -21<x<4.$

Intersecando con le condizioni di esistenza otteniamo

$\boxcolorato{superiori}{S=(-21,\,-16)\;\cup\;(-1,\,4).}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\frac{1}{5}}\!\left(\frac{3x-2}{x+5}\right) \;-\; \log_{\frac{1}{5}}\!\left(\frac{3+x}{2-x}\right) \;<\;0$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano definiti occorre che entrambi i loro argomenti siano positivi e che i denominatori non si annullino:

$\frac{3x-2}{x+5}>0,\qquad \frac{x+3}{2-x}>0,\qquad x\neq -5,\,2.$

Il primo rapporto è positivo per $\displaystyle x\in(-\infty,-5)\cup\bigl(\tfrac23,+\infty\bigr)$ ; il secondo lo è per $\displaystyle x\in(-3,2)$ . L’intersezione, tenendo conto anche le condizioni $x \notin \{-5,2\}$ , fornisce il dominio della disequazione:

$D=\bigl(\frac23,\,2\bigr).$

Sfruttando la proprietà $\log_a u-\log_a v=\log_a\!\bigl(\tfrac uv\bigr)$ si ottiene

$\log_{\frac15} \left (\frac{3x-2}{x+5} \right ) - \log_{\frac15} \left (\frac{x+3}{2-x} \right ) =\log_{\frac15} \left ( \frac{(3x-2)(2-x)}{(x+5)(x+3)} \right ) <0.$

Poiché la base $a=\tfrac15$ appartiene all’intervallo $(0,1)$ , la disequazione $\log_{a}(w)<0$ equivale a $w>1$ , quindi

$\frac{(3x-2)(2-x)}{(x+5)(x+3)}\,>\,1.$

Nell’intervallo $D$ il denominatore è positivo, perciò si possono moltiplicare per esso entrambi i membri senza cambiare verso alla diseguaglianza:

$(3x-2)(2-x)>(x+5)(x+3) \iff 4x^2+19<0,$

che è impossibile in quanto la somma di un quadrato e un numero positivo non è mai negativa. Di conseguenza la disequazione non è mai soddisfatta:

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log\!\bigl((3 - x)^{2}\bigr)\;-\;2\,\log\!\bigl(4 + x\bigr)\;<\;0$

Svolgimento.

La presenza dei logaritmi impone

$(3-x)^{2}>0\quad\Longrightarrow\quad x\neq3, \qquad 4+x>0\quad\Longrightarrow\quad x>-4,$

perciò il \emph{dominio} della disequazione è

$D=(-4,3)\;\cup\;(3,+\infty).$

Servendosi delle proprietà dei logaritmi si può riscrivere

$\log\!\bigl((3-x)^{2}\bigr)-2\,\log\!\bigl(4+x\bigr) =\log\!\bigl((3-x)^{2}\bigr)-\log\!\bigl((4+x)^{2}\bigr) =\log\!\Bigl(\tfrac{(3-x)^{2}}{(4+x)^{2}}\Bigr),$

così la disequazione assegnata equivale a

$\log\!\Bigl(\tfrac{(3-x)^{2}}{(4+x)^{2}}\Bigr)<0.$

Poiché la base (10) è maggiore di $1$ , la funzione logaritmica è strettamente \emph{crescente}: la disequazione $\log(y)<0$ è dunque equivalente a $y<1$ . Ne segue

$\frac{(3-x)^{2}}{(4+x)^{2}}<1 \;\Longleftrightarrow\; (3-x)^{2}<(4+x)^{2},$

dato che il denominatore $(4+x)^{2}$ è certamente positivo nell’intervallo di esistenza.

Sviluppando i quadrati:

$x^{2}-6x+9<x^{2}+8x+16 \;\Longleftrightarrow\; -6x+9<8x+16 \;\Longleftrightarrow\; -14x<7 \;\Longleftrightarrow\; x>-\tfrac12.$

Infine si interseca tale condizione con il dominio $D$ :

$S=\bigl(-\tfrac12,\,3\bigr)\;\cup\;(3,\,+\infty).$

Pertanto la soluzione della disequazione è l’unione degli intervalli aperti

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\frac12,\,3\right )\;\cup\;(3,\,+\infty).}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{2}\!\bigl(\log_{1/2}(x-6)\bigr)<0.$

Svolgimento.

La disequazione ha senso solo se entrambi gli argomenti dei logaritmi sono positivi, ovvero

$\begin{cases} x-6>0 \\ \log_{1/2}(x-6)>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>6 \\ x-6<1 \end{cases} \iff 6<x<7.$

Poiché $\log_{2}$ è crescente (base $2>1$ ), la richiesta che il risultato sia negativo si traduce in

$\log_{1/2}(x-6)<1.$

Con base minore di $1$ il verso della disequazione si inverte, dando

$x-6>\Bigl(\frac12\Bigr)^{1}=\frac12 \iff \quad x>\frac{13}{2}.$

Intersecando con le condizioni di esistenza si giunge alla soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left (\frac{13}{2},\,7 \right ). }$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{3}\!\bigl(\sqrt{\,1-x}\,-2\bigr)>0.$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, ma affinché il risultato del logaritmo sia positivo il suo argomento deve essere maggiore di $1$ . Tale condizione è più restrittiva e quindi è sufficiente a garantire che la disequazione sia definita. Imponendo inoltre la condizione di esistenza del radicale $1-x>0$ , la disequazione è equivalente al sistema

$\begin{cases} \sqrt{1-x}-2>1 \\ 1-x>0 \end{cases} \iff \begin{cases} 1-x>9 \\ 1-x>0 \end{cases} \iff x<-8.$

dove al secondo passaggio abbiamo elevato ambo i membri al quadrato, operazione lecita in quanto entrambi sono positivi. Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=(-\infty,-8).}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{(4-\log_{2}x)\,\log_{2}|x|}{\log_{2}(x-2)}\;\ge 0.$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza sono date dalla positività degli argomenti dei logaritmi e dal fatto che il denominatore non deve essere nullo:

$\begin{cases} x>0 \\ |x|>0 \\ x-2>0 \\ \log_2(x-2)\neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq 0 \\ x>2 \\ x \neq 3. \end{cases} \iff x \in (2,3) \cup (3,+\infty).$

Dalla condizione di esistenza si ricava $|x|=x$ , quindi la disequazione diventa

$\frac{(4-\log_{2}x)\,\log_{2}x}{\log_{2}(x-2)} \geq 0 \qquad x \in (2,3) \cup (3,+\infty).$

Il fattore $4-\log_2 x$ è positivo se e solo se

$\log_2 x \leq 4 \iff 0 < x \leq 16.$

Il fattore $\log_2 x$ è invece positivo per $x \geq 1$ . Il denominatore è positivo per $x-2>1$ , ovvero $x>3$ .

$\quad$

$\,2<x<3$ : quoziente negativo (numeratore $+$ , denominatore $-$ ).

$\,3<x<16$ : quoziente positivo (numeratore $+$ , denominatore $+$ ).

$\,x>16$ : quoziente negativo (numeratore $-$ , denominatore $+$ ).

Il rapporto è dunque non negativo solo per $3<x\leq 16$ , includendo il punto $x=16$ dove il numeratore si annulla e il denominatore è diverso da zero. Pertanto

$\boxcolorato{superiori}{S=(3,16].}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{2} x \;>\; -\,\log_{1/2} \sqrt{x}.$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza sono date dalla positività degli argomenti del logaritmo e dal fatto che l’argomento della radice quadrata deve essere non negativo:

$\begin{cases} x >0 \\ \sqrt{x}>0 \\ x \geq 0 \end{cases} \iff x>0.$

Al fine di risolvere la disequazione, conviene riscrivere il secondo logaritmo in base $2$ :

$-\log_{1/2}\sqrt{x} \;=\; -\frac{\log\sqrt{x}}{\log\!\bigl(\tfrac12\bigr)} =\frac{\log\sqrt{x}}{\log 2} =\log_{2}\sqrt{x}.$

La disequazione diventa

$\log_{2} x \;>\; \log_{2} \sqrt{x}.$

Dato che la base è $2>1$ , la funzione logaritmo è crescente, dunque la disuguaglianza è equivalente alla disuguaglianza dello stesso verso tra gli argomenti:

$x > \sqrt{x} \iff \begin{cases} x^2 > x \\ x \geq 0 \end{cases} \iff x>1.$

Dato che tale soluzione soddisfa le condizioni di esistenza, si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{S=(1,+\infty).}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{\frac13}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr) \;-\; 2\,\log_{\frac13}(6-x) \;<\; -\log_{\frac13}4.$

Svolgimento.

Si comincia imponendo l’esistenza dei logaritmi:

$\begin{cases} x^{2}-3x>0 \\ 6-x>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x(x-3)>0 \\ x<6 \end{cases} \iff \begin{cases} x<0 \,\,\vee \,\,x>3 \\ x<6 \end{cases} \iff x <0 \,\,\vee 3<x<6.$

Sommando e applicando le proprietà dei logaritmi, si può ottenere la disequazione equivalente

$\log_{\frac13}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr)+\log_{\frac13}4 <2\log_{\frac13}(6-x) \;\Longleftrightarrow\; \log_{\frac13}\!\bigl(4(x^{2}-3x)\bigr) <\log_{\frac13}\!\bigl((6-x)^{2}\bigr).$

Poiché la base $\tfrac13$ è minore di $1$ , la funzione logaritmo è decrescente e la disequazione equivale alla disuguaglianza opposta tra gli argomenti:

$4(x^{2}-3x)>(6-x)^{2}.$

Sviluppando e semplificando si ottiene

$3x^{2}-36>0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}>12 \;\Longleftrightarrow\; \lvert x\rvert>2\sqrt3.$

La disequazione è quindi soddisfatta quando

$x<-2\sqrt3 \quad\text{oppure}\quad x> 2\sqrt3.$

Intersecando con le condizioni di esistenza e tenendo conto che $3<2\sqrt{3}<4$ , si ha che la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-2\sqrt3)\cup(2\sqrt{3},6).}$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\lvert-2\log x\rvert+\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)} {\,2\log x-\log\!\bigl((2x-5)^{2}\bigr)}\ge0.$

Svolgimento.

Il dominio si ottiene imponendo positivi gli argomenti dei logaritmi e il denominatore diverso da $0$ :

$\begin{aligned} \begin{cases} x>0 \\ x^2+1>0 \\ x>0 \\ (2x-5)^2 >0 \\ 2\log x - \log\big((2x-5)^2 \big) \neq 0 \end{cases} & \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq \frac{5}{2} \\ x^2 \neq (2x-5)^2 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq \frac{5}{2} \\ x \neq \pm (2x-5) \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq \frac{5}{2} \\ x \neq 5 \,\,\vee \,\, x \neq \frac{5}{3} \end{cases} \\ & \iff x \in (0,+\infty) \setminus\left \{ \frac{5}{3}, \frac{5}{2}, 5 \right \}. \end{aligned}$

Il numeratore è sempre positivo essendo la somma di un valore assoluto e del logaritmo di $x^2+1$ : essendo tale argomento sempre maggiore di $1$ nel dominio, il logaritmo è sempre strettamente positivo.

Il segno dell’intera frazione è uguale al segno del denominatore

$2\log x - \log \big( (2x-5)^2\big) = \log x^2 - \log \big( (2x-5)^2\big).$

Per la monotonia della funzione logaritmo naturale, tale denominatore è positivo se e solo se

$x^2 > (2x-5)^2 \iff (2x-5-x)(2x-5+x)<0 %\iff %(x-5)(3x-5)>0 \iff \frac{5}{3} <x <5,$

dunque tenendo conto delle condizioni di esistenza, le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (\frac53,\frac52 \right )\,\cup\,\left (\frac52,5 \right ).}$

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{2}\bigl|x^{2}+2x-3\bigr|-\log_{2}(x-2)<1.$

Svolgimento.

Affinché i logaritmi siano definiti occorre che

$\begin{cases} |x^2+2x-3 |>0 \\ x-2>0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2+2x-3 \neq 0 \\ x>2 \end{cases} \iff x>2,$

dove alla prima equivalenza si è usata la proprietà che il valore assoluto di una quantità è positivo se e solo se tale quantità non è nulla, mentre all’ultima equivalenza abbiamo usato che, per $x>2$ , si ha automaticamente $x^2+2x-3>2^2+2\cdot2 - 3=5>0$ e quindi il polinomio è diverso da $0$ .

Ricordando che per $x>2$ (condizione di esistenza) si ha $x^2+2x-3>5$ e quindi $|x^2+2x-3|=x^2+2x-3$ , scrivendo $1=\log_2 2$ , riarrangiando i termini e sfruttando le proprietà dei logaritmi, si ottiene la disequazione equivalente

$\log_2 (x^2+2x-3) < \log_2 \big(2(x-2)\big) \iff x^2+2x-3< 2x-4 \iff x^2+1<0,$

che è impossibile in quanto la somma di un quadrato e di un numero positivo non è mai negativa. Concludiamo

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\displaystyle \sqrt{\;\log_{2}\!\Bigl(\log_{\frac14}(x^{2}-4)\Bigr)+1}} {\displaystyle \log_{2}(7-2x)-3\log_{8}x}\;\ge\;0.$

Svolgimento.

Per le condizioni di esistenza occorre che gli argomenti dei logaritmi siano positivi, che l’argomento della radice sia non-negativo e che il denominatore sia diverso da $0$ :

$\begin{aligned} \begin{cases} x^2-4>0 \\ \log_{\frac{1}{4}} (x^2-4)>0 \\ \log_2 \left ( \log_{\frac{1}{4}} (x^2-4) \right )+1\geq 0 \\ 7-2x>0 \\ x>0 \\ \log_2(7-2x) - 3 \log_8 x\neq 0 \end{cases} & \iff \begin{cases} x<-2\,\,\vee\,\,x>2 \\ x^2-4<1 \\ \log_{\frac{1}{4}} (x^2-4) \geq \frac{1}{2} \\ x < \frac{7}{2} \\ x>0 \\ \log_2(7-2x) \neq \log_2 x, \end{cases} \end{aligned}$

dove nell’ultima equazione abbiamo sfruttato che $8=2^3$ e quindi $3 \log_8 x= \log_2 x$ . Continuando a risolvere il sistema, ricaviamo

$\begin{aligned} \begin{cases} x<-2\,\,\vee\,\,x>2 \\ -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \\ x^2-4 \leq \frac{1}{2} \\ x < \frac{7}{2} \\ x>0 \\ 7-2x \neq x, \end{cases} & \iff \begin{cases} x<-2\,\,\vee\,\,x>2 \\ -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} \leq x \leq \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ x < \frac{7}{2} \\ x>0 \\ x \neq \frac{7}{3} \end{cases} \\ & \iff 2<x<\frac{3\sqrt{2}}{2}, \end{aligned}$

dove l’ultima condizione $x \neq \frac{7}{3}$ è ridondante in quanto $\frac{3\sqrt{2}}{2}<\frac{7}{3}$ (ciò si verifica elevando al quadrato ambo i numeri).

Passiamo ora a risolvere la disequazione. Il numeratore è sempre non-negativo in quanto è il risultato di una radice quadrata, dunque il segno della frazione è pari al segno del denominatore; quindi la disequazione, nel dominio trovato, è equivalente a

$\log_2(7-2x) > \log_2 x \iff 7-2x>x \iff x < \frac{7}{3}.$

Ciò implica che tutti gli elementi del dominio della disequazione la rendono vera:

$\boxcolorato{superiori}{S= \left (2,\;\frac{3\sqrt2}{2} \right ].}$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{3\log_{9}^{2}x+\log_{\frac19}x^{2}} {\sqrt[9]{\log_{9}x^{2}}}\;\ge 0 .$

Svolgimento.

Affinché l’espressione abbia senso occorre che gli argomenti dei logaritmi siano tutti positivi, che avviene se e solo se $x>0$ e che il denominatore non si annulli, dunque

$\begin{cases} x>0 \\ \log_9 x^2 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,1) \cup (1,+\infty).$

Da tali condizioni di esistenza e ricordando che $\log_{\frac{1}{a}} t = - \log_a t$ , il numeratore è non-negativo se e solo se

$\begin{aligned} 3 \log_9^2 x - 2\log_9 x \geq 0 & \iff \log_9 x \Big( 3\log_9 x - 2 \Big) \geq 0 \\ & \iff \log_9 x \leq 0 \,\,\vee \,\, \log_9 x \geq \frac{2}{3} \\ & \iff x\leq 1 \,\, \vee \,\, x \geq 9^{\frac{2}{3}}= 3\sqrt[3]{3}. \end{aligned}$

Il denominatore è positivo se e solo se

$\log_9 x^2>0 \iff x^2>1 \iff x<0 \,\,\vee \,\,x>1.$

La frazione è quindi non negativa nei punti in cui i segni di numeratore e denominatore sono concordi. Tenendo anche presente la condizione di esistenza, si ottiene

$\boxcolorato{superiori}{S=[3\sqrt[3]{3},+\infty).}$

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\log_{4}^{3}x-\log_{4}^{2}x}{\log_{4}x-2}>0.$

Svolgimento.

La condizione di esistenza si ricava imponendo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi e che il denominatore non si annulli:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_4 x \neq 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq 4^2=16 \end{cases} \iff x \in (0, 16) \cup (16,+\infty).$

Raccogliendo $\log_4^2 x$ al numeratore, la disequazione diventa

$\log_4^2 x \cdot \frac{\log_4 x - 1}{\log_4 x -2} > 0.$

Il fattore $\log_4^2 x$ è un quadrato, quindi è positivo per ogni $x$ tale che $\log_4 x \neq 0$ , ovvero per $x \neq 1$ .

Il fattore $\log_4 x - 1$ è positivo se e solo se $x> 4$ , mentre il fattore $\log_4 x - 2$ è positivo se e solo se $x> 4^2=16$ . Ne segue che la frazione è positiva per

$x \in (0,1) \cup (1,4) \cup (16,+\infty).$

La soluzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=(0,1)\,\cup\,(1,4)\,\cup\,(16,+\infty).}$

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\bigl(\log_{2}(x^{2}-1)+\log_{1/2}(x^{2}+1)\bigr)\,\bigl(1-2\log_{3}x\bigr)\;\le 0.$

Svolgimento.

I logaritmi esistono quando gli argomenti sono positivi. Dato che $x^2+1$ è sempre positivo, intersecando le condizioni $x^{2}-1>0$ e $x>0$ , segue che il dominio è $x>1$ .

Poiché $\log_{\frac{1}{a}}t= - \log_a t$ , il primo fattore è non-negativo se e solo se

$\log_{2}(x^{2}-1)\geq \log_{2}(x^{2}+1) \iff x^2-1 \geq x^2+1 \iff -2 \geq 0,$

che è sempre falsa. Ne seque che il primo fattore è negativo per ogni $x$ nel dominio. Il prodotto è non-negativo se e solo se il secondo fattore è non-negativo, ovvero se e solo se

$1-2 \log_3 x \geq 0 \iff \log_3 x \leq \frac{1}{2} \iff x \leq \sqrt{3}.$

Intersecando con le condizioni di esistenza si ha

$\boxcolorato{superiori}{S=(1,\sqrt{3}\,].}$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{3\log^{2}\!\bigl(\lvert x\rvert-1\bigr) -\log\!\bigl(\lvert x\rvert-1\bigr)^{5}-2} {\log_{4}x-2+\log_{\frac12}x} \;<\;0.$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo naturale impone $\lvert x\rvert-1>0$ , quindi $x<-1$ oppure $x>1$ . Poiché, però, i logaritmi in base $4$ e $\tfrac12$ richiedono $x>0$ , i logaritmi esistono se e solo se

$x>1.$

Occorrerebbe imporre che il denominatore della frazione non si annulli, ma ciò sarà considerato nello studio del segno di numeratore e denominatore.

Dalle condizioni di esistenza si ha $|x|=x$ . Dalle proprietà dei logaritmi, il numeratore è positivo se e solo se

$\begin{aligned} 3\log^2 (x-1) - 5\log(x-1)-2>0 & \iff \log (x-1)< -\frac{1}{3} \,\,\vee \,\, \log(x-1)>2 \\ & \iff x-1< \frac{1}{\sqrt[3]{e}} \,\,\vee \,\, x-1 > e^2 \\ &\iff x< 1+\frac{1}{\sqrt[3]{e}}\,\,\vee \,\, x> e^2+1. \end{aligned}$

Per studiare il denominatore, osserviamo che $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$ e che $\log_{\frac{1}{2}}x=-\log_2 x$ , da cui

$\frac{1}{2}\log_2 x - 2 - \log_2 x>0 \iff \log_2 x < -4 \iff x< 2^{-4}= \frac{1}{16}.$

Nel dominio $x>1$ il denominatore è sempre strettamente negativo.

La frazione è quindi negativa per le $x$ nel dominio per cui il numeratore è positivo, ovvero per

$1 < x < 1+\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \,\,\vee \,\,x>e^2+1.$

La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (1,\; 1+\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \right )\;\cup\;\bigl(1+e^{2},+\infty\bigr).}$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\displaystyle \log_{1/2}\!\bigl(x-|x|\bigr) +\log_{4}(x-1) +\log_{1/4}(x+1)} {\,1+2x\log 2}\;\ge 0.$

Svolgimento.

Perché l’espressione sia definita occorre che ciascun argomento dei logaritmi sia strettamente positivo, ma osserviamo che $x \leq |x|$ , per cui

$x-|x| \leq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

L’argomento del primo logaritmo è quindi sempre nullo o negativo. L’espressione non è quindi definita per alcun valore reale di $x$ e pertanto le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\bigl(1+\lvert x\rvert\log 2\bigr)\,\bigl(\log_{3}x-\log_{x}9\bigr)} {\log^{2}_{10}(x-1)+\log_{10}(x-1)-\log_{10} 10^{6}} <0.$

Svolgimento.

Cominciamo determinando le condizioni di esistenza: gli argomenti dei logaritmi devono essere strettamente positivi, le loro basi devono appartenere a $(0,1) \cup (1,+\infty)$ e il denominatore della frazione deve essere diverso da $0$ . Tale ultima condizione sarà studiata nella risoluzione della disequazione. Dunque abbiamo il sistema

$\begin{aligned} \begin{cases} x>0 \\ x \in (0,1) \cup (1,+\infty) \\ x-1>0 \end{cases} \iff x>1. \end{aligned}$

Il fattore $1+\lvert x\rvert\log 2$ è sempre positivo; la disequazione è quindi equivalente a

$\begin{aligned} \frac{\log_3 x - \log_x 9}{\log_{10}^2(x-1) + \log_{10}(x-1) - 6}<0 & \iff \frac{\log_3 x - \frac{2}{\log_3 x}}{\big(\log_{10}(x-1) +3\big) \big(\log_{10}(x-1) - 2 \big)}<0 \\ & \iff \frac{(\log_3 x - \sqrt{2})(\log_3 x + \sqrt{2})}{\log_3 x \big(\log_{10}(x-1) +3\big) \big(\log_{10}(x-1) - 2 \big)}<0, \end{aligned}$

dove nella prima equivalenza abbiamo effettuato il cambiamento di base $\log_x 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 x}= \frac{2}{\log_3 x}$ e abbiamo scomposto il trinomio al denominatore.

Poiché $x>1$ il fattore $\log_3 x>0$ e quindi il segno della frazione è determinato dal segno dei rimanenti fattori. Si ha

$\begin{gathered} \log_3 x - \sqrt{2}>0 \iff x > 3^{\sqrt{2}} \\ \log_3 x + \sqrt{2}>0 \iff x > 3^{-\sqrt{2}} \\ \log_{10}(x-1) +3>0 \iff x-1 > 10^{-3} \iff x> 1 + \frac{1}{1000} \\ \log_{10}(x-1) - 2>0 \iff x-1> 10^2 \iff x> 101. \end{gathered}$

Il segno della frazione è negativo se e solo se vi è un numero dispari di fattori negativi. Poiché $3^{-\sqrt{2}}<1< 1+\frac{1}{1000}< 3^{\sqrt{2}}<101$ e tenendo conto della condizione di esistenza $x>1$ , ciò avviene se e solo se

$1<x<1+\frac{1}{1000} \,\,\vee \,\, 3^{\sqrt{2}}<x<101.$

La soluzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(1,\,1+10^{-3}\bigr)\;\cup\;\bigl(3^{\sqrt2},\,101\bigr).}$

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Disequazioni fratte.