Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 4

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

Home » Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 4

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la disequazione

    \[\log_2 (1+x) + \log_2 2x \ge 2\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero:

    \[\begin{cases} 1+x>0\\ 2x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>-1\\ x>0 \end{cases}\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x>0}\]

Risoluzione.
Utilizzando le proprietà dei logaritmi e scrivendo il numero a membro destro come logaritmo nella stessa base dei logaritmi presenti a membro sinistro, otteniamo

    \[\log_2 (1+x) + \log_2 2x \ge 2 \quad \Rightarrow \quad \log_2 [(1+x)2x] \ge \log_2 4 \quad \Rightarrow \quad 2x^2+2x\ge 4 \quad \Rightarrow \quad x^2+x-2\ge0\]

dove nel penultimo passaggio abbiamo tenuto conto del fatto che la base del logaritmo, essendo pari a 2, è maggiore di 1 e dunque nel passare alla disequazione tra gli argomenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza.\\
Bisogna risolvere la disequazione di secondo grado

    \[x^2+x-2\ge0 \quad \Rightarrow \quad x\le-2 \; \vee \; x\ge 1\]

Conclusione.
Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

    \[\begin{cases} x>0\\ x\le-2 \; \vee \; x\ge 1 \end{cases}\]

da cui

    \[\boxed{ S: x\ge1}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 Ed. Verde – Petrini