Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 4

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2 (1+x) + \log_2 2x \ge 2.$

Svolgimento.

Condizioni di esistenza. Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero:

$\begin{cases} 1+x>0\\ 2x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>-1\\ x>0 \end{cases}$

quindi

$\boxed{C.E. \quad x>0.}$

Risoluzione. Utilizzando le proprietà dei logaritmi e scrivendo il numero a membro destro come logaritmo nella stessa base dei logaritmi presenti a membro sinistro, otteniamo

$\log_2 (1+x) + \log_2 2x \ge 2 \quad \Rightarrow \quad \log_2 [(1+x)2x] \ge \log_2 4 \quad \Rightarrow \quad 2x^2+2x\ge 4 \quad \Rightarrow \quad x^2+x-2\ge0$

dove nel penultimo passaggio abbiamo tenuto conto del fatto che la base del logaritmo, essendo pari a $2$ , è maggiore di $1$ e dunque nel passare alla disequazione tra gli argomenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza.\\ Bisogna risolvere la disequazione di secondo grado