Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la disequazione

    \[\log_2 x - \log_2 (x-1) \le 2\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero:

    \[\begin{cases} x>0\\ x-1>0 \end{cases}\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x>1}\]

Risoluzione.
Utilizzando le proprietà dei logaritmi e scrivendo il numero a membro destro come logaritmo nella stessa base dei logaritmi presenti a membro sinistro, otteniamo

    \[\log_2 x - \log_2 (x-1) \le 2 \quad \Rightarrow \quad \log_2 \dfrac{x}{x-1} \le \log_2 4 \quad \Rightarrow \quad\quad \dfrac{x}{x-1} \le 4\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo tenuto conto del fatto che la base del logaritmo, essendo pari a 2, è maggiore di 1 e dunque nel passare alla disequazione tra gli argomenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza.
Bisogna risolvere la disequazione fratta

    \[\dfrac{x}{x-1} \le 4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{-3x+4}{x-1}\ge0\]

da cui

    \[x<1 \; \vee \; x\ge \dfrac{4}{3}\]

Conclusione.
Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

    \[\begin{cases} x>1\\\\ x<1 \; \vee \; x\ge \dfrac{4}{3} \end{cases}\]

da cui

    \[\boxed{ S: x\ge \dfrac{4}{3}}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 Ed. Verde – Petrini