Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2 x - \log_2 (x-1) \le 2.$

Svolgimento.

Condizioni di esistenza. Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero:

$\begin{cases} x>0\\ x-1>0 \end{cases}$

quindi

$\boxed{C.E. \quad x>1.}$

Risoluzione. Utilizzando le proprietà dei logaritmi e scrivendo il numero a membro destro come logaritmo nella stessa base dei logaritmi presenti a membro sinistro, otteniamo

$\log_2 x - \log_2 (x-1) \le 2 \quad \Rightarrow \quad \log_2 \dfrac{x}{x-1} \le \log_2 4 \quad \Rightarrow \quad\quad \dfrac{x}{x-1} \le 4$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo tenuto conto del fatto che la base del logaritmo, essendo pari a $2$ , è maggiore di $1$ e dunque nel passare alla disequazione tra gli argomenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza. Bisogna risolvere la disequazione fratta