Disequazione logaritmica elementare – Esercizio 2

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la disequazione

    \[\log_{\frac{1}{2}} (2-x) < -3\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero:

    \[2-x>0 \qquad x<2\]

quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x<2}\]

Risoluzione.
Il numero a destra dello zero va riscritto come logaritmo nella stessa base del logaritmo a membro sinistro:

    \[\log_{\frac{1}{2}} (2-x) < -3 \quad \Rightarrow \quad \log_{\frac{1}{2}} (2-x) < \log_{\frac{1}{2}} 8 \quad \Rightarrow \quad 2-x > 8\quad \Rightarrow \quad x<-6\]

dove nel penultimo passaggio abbiamo tenuto conto del fatto che la base del logaritmo, essendo pari a 1/2, è minore di 1 e dunque nel passare alla disequazione tra gli argomenti abbiamo invertito il segno di disuguaglianza.
Conclusione.
Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

    \[\begin{cases} 	x<2\\ x<-6 \end{cases}\]

da cui

    \[\boxed{ S: x<-6}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 Ed. Verde – Petrini