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Equazioni logaritmiche con variabile ausiliaria: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

Home » Equazioni logaritmiche con variabile ausiliaria: esercizi svolti

 
 

Autori e revisori

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Raccolta di esercizi sulle equazioni logaritmiche risolte mediante l’utilizzo di una variabile ausiliaria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[\log_2 x - \log_x e = 2.\]

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione risulta:

\[x>0, \qquad x\neq 1.\]

Infatti, il termine \log_2 x richiede x>0, mentre il termine \log_x e richiede che la base x sia positiva e diversa da 1.Effettuando il cambio di base sul secondo termine del primo membro, per passare al logaritmo in base 2, si ha:

\[\log_2 x - \frac{\log_2 e}{\log_2 x} = 2.\]

Ponendo \log_2 x = t, con t\neq 0, si ottiene

\[t - \frac{\log_2 e}{t} = 2.\]

Moltiplicando per t:

\[t^2 - \log_2 e = 2t,\]

da cui

\[t^2 - 2t - \log_2 e = 0.\]

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

\[\begin{aligned}t_{1,2}&= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\log_2 e}}{2} \\&= 1 \pm \sqrt{1+\log_2 e} \\&= 1 \pm \sqrt{\log_2(2e)}.\end{aligned}\]

Pertanto:

\[x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2(2e)}}.\]

Entrambe le soluzioni ricadono nel dominio dell’equazione. Infatti, poiché

\[\log_2(2e)>1,\]

si ha

\[\sqrt{\log_2(2e)}>1.\]

Quindi:

\[x_2 = 2^{1 + \sqrt{\log_2(2e)}} > 2,\]

mentre

\[0 < x_1 = 2^{1 - \sqrt{\log_2(2e)}} < 1.\]

In particolare, entrambe le soluzioni sono positive e diverse da 1.Ne segue che le soluzioni sono

\[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ 2^{1 - \sqrt{\log_2(2e)}},\;2^{1 + \sqrt{\log_2(2e)}}\right\}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[ (\log_3 x)^2 - \log_3 x = 1 .\]

Svolgimento.

Poniamo y = \log_3 x, così che l’equazione diventi:

\[ y^2 - y - 1 = 0. \]

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Ora, poiché y = \log_3 x, otteniamo:

\[ \log_3(x)=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \iff x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}. \]

Tali soluzioni sono accettabili in quanto rendono definiti i logaritmi nell’equazione originaria. Pertanto, l’equazione ha le due soluzioni reali

\[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}} \right\}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2. \]

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