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Equazioni logaritmiche con variabile ausiliaria

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

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Raccolta di esercizi sulle equazioni logaritmiche risolte mediante l’utilizzo di una variabile ausiliaria.

 
 

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Notazioni

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\log x, \ln x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[\log_2 x - \log_2 e = 2.\]

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione risulta:

\[ \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}: x > 0 \land x \neq 1\}. \]

Effettuando il cambio di base sul secondo termine del primo membro e passando al logaritmo in base 2 si ha:

\[ \log_2 x - \frac{\log_2 e}{\log_2 x} = 2. \]

Ponendo \log_2 x = t si ottiene

\[ \begin{aligned} t^2 - 2t - \log_2 e = 0 \iff t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\log_2 e}}{2} = 1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}. \end{aligned} \]

Pertanto:

\[ x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}. \]

Entrambe le soluzioni ricadono nel dominio dell’equazione, infatti:

\[ x_2 = 2^{1 + \sqrt{\log_2 (2e)}} > 2; \quad 0 < x_1 = 2^{1 - \sqrt{\log_2 (2e)}} = \frac{1}{2^{\sqrt{\log_2 (2e)} - 1}} < 1. \]

Ne segue che le soluzioni sono

\[ \boxcolorato{superiori}{ x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}. } \]


 
 

Esercizio 2  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[ (\log_3 x)^2 - \log_3 x = 1 .\]

Svolgimento.

Poniamo y = \log_3 x, così che l’equazione diventi:

\[ 	y^2 - y - 1 = 0. 	\]

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

\[ 	y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \implies y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. 	\]

Ora, poiché y = \log_3 x, otteniamo:

\[ 	\log_3(x)=\frac{1 \pm  \sqrt{5}}{2}  \implies x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}. 	\]

Pertanto, l’equazione ha le due soluzioni reali

\[\boxcolorato{superiori}{x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}.}\]


 
 

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2, \]

Svolgimento.

Consideriamo l’equazione

\[ \frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2. \]

Perché l’espressione sia definita devono verificarsi contemporaneamente:

\[ \begin{cases} x>0 \\ \log_2 x - 1 \neq 0 \\ \log_2 x +1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,\tfrac12)\,\cup\,(\tfrac12,2)\,\cup\,(2,\infty).  \]

Ponendo t=\log_{2}x l’equazione diventa

\[ \frac{3}{t-1}+\frac{2}{t+1}=2, \]

che, moltiplicata per (t-1)(t+1), conduce al quadratico 2t^{2}-5t-3=0 e fornisce t=3 oppure t=-\tfrac12. Invertendo la sostituzione si ottengono le condizioni

\[ \log_2 x = 3 \; \vee \; \log_2 x =-\frac{1}{2} \iff x=2^{3}=8,\; \vee \; x=2^{-1/2}=\tfrac{\sqrt2}{2}. \]

Entrambi i valori appartengono al dominio, dunque le soluzioni sono

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac{\sqrt2}{2},\;8\Bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{3}{\log x} + \frac{\log x}{\log x + 1} = 2 + \frac{1}{\log x}. \]

Svolgimento.

L’equazione

\[ \frac{3}{\log x}+\frac{\log x}{\log x+1}=2+\frac{1}{\log x}, \]

è definita solo per x>0 con l’esclusione dei punti in cui compaiono zeri al denominatore, cioè sotto le condizioni

\[ \begin{cases} x>0 \\ \log x \neq 0 \\ \log x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,e^{-1}) \cup (e^{-1},1) \cup (1,+\infty). \]

Per semplificare si pone t=\log x, trasformando l’equazione in

\[ \frac{3}{t}+\frac{t}{t+1}=2+\frac{1}{t}, \quad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}. \]

Portando tutto a primo membro rimane

\[ \frac{2}{t}+\frac{t}{t+1}-2=0 \qquad\Longrightarrow\qquad 2(t+1)+t^{2}-2t(t+1)=0 \]

dopo aver moltiplicato per t(t+1) per eliminare i denominatori. Riducendo i termini si ottiene l’espressione 2-t^{2}=0, ossia

\[ t^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{2}. \]

Entrambi i valori sono ammessi, poiché non coincidono né con -1 né con 0. Tornando alla variabile originaria si ricava

\[ x=e^{t}=e^{\sqrt{2}}\quad\text{oppure}\quad x=e^{-\sqrt{2}}. \]

Insieme delle soluzioni reali:

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,e^{\sqrt{2}},\;e^{-\sqrt{2}}\,\bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{3}{\log_2 x (1 + \log_2 x)} = 2 - \frac{3}{\log_2 x}. \]

Svolgimento.

Devono essere positivi gli argomenti dei logaritmi e diversi da zero i denominatori:

\[ \begin{cases} x>0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ 1+\log_2 x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right ) \cup \left (\frac{1}{2},1\right ) \cup (1,+\infty). \]

Poniamo t=\log_{2}x; con t\neq0,-1 l’equazione diventa

\[ \frac{3}{t(1+t)}=2-\frac{3}{t}. \]

Moltiplicando ambo i membri per t(1+t) otteniamo

\[ 3=\left (2-\frac{3}{t}\right )\,t(1+t)=(2t-3)(1+t)=2t^{2}-t-3, \]

da cui

\[ 2t^{2}-t-6=0. \]

Il discriminante è 1+48=49 e fornisce

\[ t=\frac{1\pm7}{4}\quad\Longrightarrow\quad t_{1}=2,\qquad t_{2}=-\frac32, \]

entrambi ammessi perché diversi da 0 e da -1.

\[ x=2^{t}\;\Longrightarrow\; \begin{cases} t=2 &\Rightarrow\; x=2^{2}=4,\\[4pt] t=-\dfrac32 &\Rightarrow\; x=2^{-3/2}=\dfrac1{2\sqrt2}. \end{cases} \]

Entrambi i valori appartengono al dominio D; dunque l’insieme delle soluzioni reali è

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{\dfrac1{2\sqrt2},\,4\Bigr\}\,.} \]


 
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \sqrt{\bigl(\log_{2}x\bigr)^{2}+\log_{2}x-2}= \log_{\frac12}x-2. \]

Svolgimento.

Poniamo t=\log_{2}x; l’equazione diventa

\[ \sqrt{(t+2)(t-1)}=-\,t-2. \]

I logaritmi impongono x>0, quindi t\in\mathbb{R}. Il radicando richiede (t+2)(t-1)\ge0, ossia t\le-2 oppure t\ge1; inoltre la radice quadrata è non-negativa, perciò anche -t-2 dev’essere non negativo, il che restringe a t\le-2. Nell’intervallo ammesso entrambe le parti sono non-negative e si può elevare al quadrato:

\[ (t+2)(t-1)=(-t-2)^{2}\;\Longrightarrow\;t^{2}+t-2=t^{2}+4t+4\;\Longrightarrow\;t-2=4t+4\;\Longrightarrow\;-6=3t, \]

da cui t=-2. Questo valore appartiene all’intervallo consentito, quindi è valido; tornando alla variabile originale si ottiene x=2^{t}=2^{-2}=1/4. L’equazione ammette dunque la sola soluzione

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\frac14\right\}.} \]


 
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ 3\log^2 x - 2\log x = 0. \]

Svolgimento.

L’equazione

\[ 3(\log x)^{2}-2\log x=0 \]

è definita per x>0. Ponendo t=\log x si ottiene

\[ 3t^{2}-2t=0\quad\Longrightarrow\quad t(3t-2)=0, \]

da cui t=0 oppure t=\tfrac23. Tornando alla variabile originaria si ha

\[ x=10^{0}=1,\qquad x=10^{\,2/3}. \]

L’insieme delle soluzioni reali è quindi

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,1,\;10^{2/3}\bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{2}x^{2}+(\log_{1/2}x)^{2}=0 . \]

Svolgimento.

Pongo t=\log_{2}x, con x>0; risulta \log_{2}x^{2}=2t, mentre \log_{1/2}x=\dfrac{\log x}{\log\!\bigl(\tfrac12\bigr)}=-\dfrac{\log x}{\log2}=-t, quindi (\log_{1/2}x)^{2}=t^{2}. L’equazione diventa allora

\[ 2t+t^{2}=0\;\Longrightarrow\;t(t+2)=0\;\Longrightarrow\;t=0\;\text{oppure}\;t=-2. \]

Tornando alla variabile iniziale otteniamo x=2^{\,0}=1 e x=2^{-2}=1/4, che soddisfano il requisito x>0. L’insieme delle soluzioni reali è dunque

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac14,\;1\Bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{\,\tfrac12}x^{2}+4\log_{2}\sqrt{x}-2=0. \]

Svolgimento.

Per i logaritmi occorre soltanto x>0. Pongo t=\log_{2}x, così che x=2^{t}.

Il primo termine diventa

\[ \log_{\,\tfrac12}x^{2}=\frac{\log_{2}x^{2}}{\log_{2}(\tfrac12)}                      =\frac{2t}{-1}=-2t, \]

mentre il secondo è

\[ 4\log_{2}\sqrt{x}=4\cdot\frac{t}{2}=2t. \]

Sostituendo nell’equazione si ottiene

\[ (-2t)+2t-2=0\;\Longrightarrow\;-2=0, \]

un’uguaglianza impossibile.

Poiché nessun valore di t (e dunque di x>0) può soddisfarla, l’equazione non ammette soluzioni reali:

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\emptyset.} \]

 
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{3}\sqrt{x}\,(\log_{3}x+1)-2\log_{3}x=2. \]

Svolgimento.

La condizione di esistenza per l’equazione è x>0 perché compaiono dei logaritmi. Poniamo t=\log_{3}x; allora \log_{3}\sqrt{x}=\log_{3}x^{1/2}=\tfrac12\,\log_{3}x=\tfrac{t}{2}. L’equazione diventa

\[ \frac{t}{2}\,(t+1)-2t=2. \]

Il prodotto \tfrac{t}{2}(t+1) vale \tfrac{t^{2}+t}{2}; sostituendo e moltiplicando per 2 si ottiene

\[ t^{2}+t-4t=4\;\Longrightarrow\;t^{2}-3t-4=0. \]

Il trinomio si annulla per

\[ t=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}, \]

ossia t=4 oppure t=-1. Tornando alla variabile originale,

\[ x=3^{\,t}=3^{4}=81,\qquad x=3^{-1}=\tfrac13, \]

entrambi ammessi perché positivi. L’insieme delle soluzioni reali è quindi

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\tfrac13,\;81\right\}.} \]

 
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log^2x^2+\log(-x)=0., \]

Svolgimento.

La presenza di \log(-x) impone x<0, mentre per \log x^2 occorre x \neq 0; ne segue che la condizione di esistenza è

\[ x<0. \]

In tale intervallo poniamo

\[ y=\log(-x)\quad\Longrightarrow\quad \log(x^{2})=\log\bigl[(-x)^{2}\bigr]=\log\bigl(( -x)^{2}\bigr)=\log\bigl((-x)^{2}\bigr)=2\log(-x)=2y . \]

Sostituendo nell’equazione si ottiene

\[ (2y)^{2}+y=0 \;\Longrightarrow\;4y^{2}+y=0\;\Longrightarrow\;y\,(4y+1)=0. \]

I valori possibili sono y=0 oppure y=-\tfrac14.

* Se y=0 allora \log(-x)=0 e quindi -x=1, da cui x=-1.

* Se y=-\tfrac14 allora \log(-x)=-\tfrac14 e quindi -x=e^{-1/4}, cioè x=-e^{-1/4}.

Entrambi i valori ottenuti sono negativi e dunque ammessi. L’insieme delle soluzioni reali è

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\left\{-1,\;-\mathrm e^{-1/4}\right\}.} \]

 
 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\bigstar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \sqrt{10 + \log_3 x^2} = 5 - \sqrt{10 + 3\log_{\frac{1}{3}} x}. \]

Svolgimento.

Si ponga

\[ y=\log_{3}x\qquad(x>0), \]

così l’equazione

\[ \sqrt{\,10+\log_{3}x^{2}\,}=5-\sqrt{\,10+3\log_{1/3}x\,} \]

diventa

\[ \sqrt{\,10+2y\,}=5-\sqrt{\,10-3y\,}, \]

perché \log_{3}x^{2}=2y e \log_{1/3}x=-y.

Il dominio richiede 10+2y\ge0 e 10-3y\ge0, cioè -5\le y\le\frac{10}{3}; inoltre il secondo radicando deve soddisfare \sqrt{10-3y}\le5, condizione che coincide con y\ge-5. Quindi -5\le y\le\frac{10}{3}.

Portando la radice a sinistra si ha

\[ \sqrt{\,10+2y\,}+\sqrt{\,10-3y\,}=5. \]

Dopo aver elevato due volte al quadrato si ottiene

\[ y^{2}+2y-15=0\;\Longrightarrow\;(y+5)(y-3)=0, \]

quindi y=-5 oppure y=3, entrambi interni all’intervallo ammesso.

Invertendo la sostituzione, x=3^{y}, si trovano

\[ x=3^{-5}=\frac{1}{243},\qquad x=3^{3}=27. \]

L’insieme delle soluzioni reali è pertanto

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{1}{243},\,27\right\}\,.} \]

 
 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log^{3}x+2\log^{2}x-3\log x=0. \]

Svolgimento.

Essendo il logaritmo definito soltanto per argomenti positivi, si stabilisce il dominio

\[ D=\{x\in\mathbb R:\,x>0\}. \]

Per ricondurre l’espressione a una forma polinomiale si pone t=\log x, ottenendo

\[ t^{3}+2t^{2}-3t=0, \]

che si fattorizza immediatamente in

\[ t\,(t+3)\,(t-1)=0. \]

Ne conseguono le tre radici

\[ t_{1}=0,\qquad t_{2}=1,\qquad t_{3}=-3. \]

Ritornando alla variabile originaria si ricavano

\[ \log x=0\Longrightarrow x=10^{0}=1,\qquad \log x=1\Longrightarrow x=10^{1}=10,\qquad \log x=-3\Longrightarrow x=10^{-3}. \]

Tutti i valori ottenuti rispettano la condizione x>0; l’insieme delle soluzioni è quindi

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\{10^{-3},\,1,\,10\}.} \]

 
 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{3}^{2}(x-1) \;-\; 2\log_{3}(x-1) \;=\; 3 \]

Svolgimento.

Si impone innanzitutto x-1>0, così da individuare il dominio

\[ D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>1\,\}. \]

Si ponga y=\log_{3}(x-1); l’equazione assegnata si traduce pertanto in

\[ y^{2}-2y-3=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+1)=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} y=3,\\ y=-1. \end{cases} \]

\[ \begin{aligned} y=3&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=3 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{3}=27 \;\Longrightarrow\;x=28,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=-1 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{-1}=\dfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\;x=\dfrac{4}{3}. \end{aligned} \]

Poiché entrambe le soluzioni soddisfano il vincolo x>1, si ottiene infine l’insieme soluzione

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{4}{3},\,28\right\}.} \]


 
 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ 5\log^{3}\sqrt{x} \;+\; 6\log^{2}\sqrt{x} \;-\; 9\log\sqrt{x} \;=\; 2 \]

Svolgimento.

Si esamini l’equazione

\[ 5\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^3 \;+\; 6\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^2 \;-\; 9\log\sqrt{x}\;=\;2. \]

Poiché il logaritmo naturale è definito soltanto per argomento positivo, si stabilisce subito la condizione di esistenza x>0.

Per rendere il calcolo più agevole si ponga

\[ t=\log\sqrt{x}=\tfrac12\log x, \]

operazione lecita nell’intero dominio già indicato; l’equazione diventa polinomio di terzo grado in t:

\[ 5t^{3}+6t^{2}-9t-2=0. \]

Si procede alla ricerca delle radici razionali; la verifica diretta mostra che t=1 soddisfa l’equazione, perciò il polinomio è divisibile per t-1. Il raccoglimento e la successiva scomposizione restituiscono

\[ 5t^{3}+6t^{2}-9t-2=(t-1)(t+2)(5t+1)=0, \]

da cui si ricavano le tre soluzioni reali

\[ t_{1}=1,\qquad t_{2}=-2,\qquad t_{3}=-\tfrac15. \]

Poiché t=\tfrac12\log x, si ottiene in ciascun caso

\[ \log x = 2t \quad\Longrightarrow\quad x=e^{2t}, \]

e precisamente

\[ x_{1}=e^{2},\qquad x_{2}=e^{-4},\qquad x_{3}=e^{-\frac25}. \]

Tutti e tre i valori appartengono al dominio x>0, pertanto non insorgono esclusioni ulteriori.

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\{\,e^{2},\,e^{-4},\,e^{-\tfrac25}\,\}.} \]

 
 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{2}^{4}(2x-3) \;-\; 5\log_{2}^{2}(2x-3) \;+\; 4 \;=\; 0 \]

Svolgimento.

Si impone innanzitutto 2x-3>0, condizione che individua il dominio

\[ D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>\tfrac32\,\}. \]

Introducendo la variabile ausiliaria y=\log_{2}(2x-3) l’equazione assegnata

\[ \log_{2}^{4}(2x-3)-5\log_{2}^{2}(2x-3)+4=0 \]

si traduce nell’equazione di quarto grado

\[ y^{4}-5y^{2}+4=0, \iff (y^{2}-4)(y^{2}-1)=0, \]

dove la scomposizione segue dalla classica strategia del polinomio particolare rispetto alla variabile t=y^2. Da ciò conseguono le quattro soluzioni

\[ y=\pm2,\qquad y=\pm1. \]

Si ritorna allora alla variabile originaria:

\[ \begin{aligned} y=2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{2}=4 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac72,\\[6pt] y=-2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-2}=\tfrac14 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac{13}{8},\\[6pt] y=1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac52,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-1}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac74. \end{aligned} \]

Tutti i valori così ottenuti soddisfano il vincolo x>\tfrac32; di conseguenza l’insieme soluzione risulta

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{13}{8},\,\dfrac74,\,\dfrac52,\,\dfrac72\right\}.} \]


 
 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \bigl(\log_{x-1}3\bigr)^{2}-\log_{x-1}3-2=0. \]

Svolgimento.

Si stabilisce anzitutto il dominio: poiché l’argomento del logaritmo è positivo in modo intrinseco (trattandosi di 3), l’unico vincolo riguarda la base x-1, che deve risultare positiva e diversa da 1; pertanto

\[ x-1>0,\qquad x-1\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x>1,\;x\neq2. \]

Per risolvere l’equazione si pone

\[ t=\log_{x-1}3, \]

sostituzione lecita su tutto il dominio. In tal modo l’equazione diviene

\[ t^{2}-t-2=0, \]

la cui soluzione fornisce

\[ t_{1}=2,\qquad t_{2}=-1. \]

Nel primo caso t=2 implica

\[ \log_{x-1}3=2 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{2} \;\Longrightarrow\; x-1=\pm\sqrt{3}. \]

Il valore negativo non rientra nel dominio, mentre il positivo produce

\[ x=1+\sqrt{3}. \]

Nel secondo caso t=-1 conduce a

\[ \log_{x-1}3=-1 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{-1} \;\Longrightarrow\; x-1=\frac13 \;\Longrightarrow\; x=\frac43, \]

che rispetta il dominio in quanto x>1 e x\neq2.

Non emergono ulteriori restrizioni, così l’insieme delle soluzioni è

\[ \boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac43,\;1+\sqrt{3}\Bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \log_{2x+1}^{2} 27 \;+\; \log_{2x+1}\!\left(\frac{1}{27}\right) \;-\; 6 \;=\; 0 \]

Svolgimento.

Si richiede anzitutto che la base del logaritmo sia positiva e diversa da 1; pertanto

\[ 2x+1>0\quad\text{e}\quad2x+1\neq1, \qquad\Longrightarrow\qquad x>-\tfrac12,\;x\neq0, \]

donde

\[ D=(-\tfrac12,\,+\infty)\setminus\{0\}. \]

Posto y=\log_{2x+1}27, l’equazione

\[ \log^{2}_{2x+1}27+\log_{2x+1}\tfrac1{27}-6=0 \]

si trasforma tenendo conto che \log_{2x+1}\tfrac1{27}=\log_{2x+1}27^{-1}=-y; ne segue il trinomio

\[ y^{2}-y-6=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+2)=0, \]

dal quale si ottengono

\[ y_{1}=3,\qquad y_{2}=-2. \]

Da y=3 si ricava

\[ \begin{aligned} y=3\;\Longrightarrow\;\log_{2x+1}27=3 \;\Longrightarrow\;(2x+1)^{3}=27 \;\Longrightarrow\;2x+1=3 \;\Longrightarrow\;x=1, \end{aligned} \]

mentre da y=-2 si ottiene

\[ \begin{aligned} y=-2 & \iff \log_{2x+1}27=-2 \\ & \iff (2x+1)^{-2}=27 \\ & \iff (2x+1)^{2}=\tfrac1{27} \\ & \iff 2x+1=\tfrac1{\sqrt{27}}=\tfrac1{3\sqrt3} \\ & \iff x=\frac{1-3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3-9}{18}. \end{aligned} \]

Entrambi i valori ottenuti appartengono a D; si conclude pertanto

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{1,\;\dfrac{\sqrt3-9}{18}\Bigr\}.} \]


 
 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{5}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 5\log_{\frac12}x \;+\; 6} \;-\; \frac{1}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 3\log_{\frac12}x \;+\; 2} \;-\; \frac{3}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 4\log_{\frac12}x \;+\; 3} \;=\; 0. \]

Svolgimento.

Poiché il logaritmo in base \tfrac12 è definito per x>0, la prima condizione di esistenza impone x>0. Inoltre i tre denominatori non devono annullarsi; ponendo

\[ t=\log_{\frac12}x, \]

condizione lecita su tutto il dominio appena citato, si osserva che

\[ \begin{aligned} t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3),\\ t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2),\\ t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3), \end{aligned} \]

i quali si annullano rispettivamente per t=1,2,3. Ne consegue che, in termini della variabile originaria, occorre escludere i valori

\[ x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{1}=\tfrac12,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}=\tfrac14,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}=\tfrac18. \]

Il dominio risulta pertanto

\[ D=\bigl(0,+\infty\bigr)\setminus\Bigl\{\tfrac18,\tfrac14,\tfrac12\Bigr\}. \]

Con la sostituzione t=\log_{\frac12}x l’equazione assume la forma

\[ \frac{5}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{(t-1)(t-2)}-\frac{3}{(t-1)(t-3)}=0. \]

Moltiplicando per il minimo comune denominatore (t-1)(t-2)(t-3) si ottiene

\[ 5(t-1)-(t-3)-3(t-2)=0, \]

ossia

\[ 5t-5-t+3-3t+6=0\;\Longrightarrow\;t+4=0, \qquad\text{da cui}\qquad t=-4. \]

Il valore trovato non coincide con 1,2,3, pertanto non provoca annullamenti di denominatore e resta ammesso. Ritornando alla variabile x si ha

\[ t=\log_{\frac12}x=-4 \;\Longrightarrow\; x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-4}=2^{4}=16, \]

valore che appartiene a D.

Si conclude quindi che l’insieme delle soluzioni è

\[ \boxcolorato{superiori}{S=\{16\}.} \]

 
 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

\[ \frac{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 9} \;-\; \frac{1}{\log_{1/3}(1 - x) \;+\; 3} \;+\; \frac{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 3} \;=\; 0 \]

Svolgimento.

Si osservi innanzitutto che il logaritmo \log_{\,\frac13}(1-x) è definito soltanto per 1-x>0, condizione che impone x<1; poiché la base \tfrac13 è positiva e diversa da 1, non emergono ulteriori restrizioni. Si introduca dunque la variabile ausiliaria

\[ y=\log_{\,\frac13}(1-x), \]

ricordando che la trasformazione è biunivoca nell’intervallo x<1. Con tale sostituzione l’espressione

\[ \frac{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-9} -\frac{1}{\log_{\,\frac13}(1-x)+3} +\frac{\log_{\,\frac13}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}(1-x)-3}=0 \]

diviene

\[ \frac{y^{2}-1}{y^{2}-9}-\frac{1}{y+3}+\frac{y-1}{y-3}=0. \]

I denominatori impongono y\neq\pm3, perciò tali valori andranno eventualmente esclusi. Sommandosi i tre termini si ottiene

\[ \frac{2y^{2}+y-1}{y^{2}-9}=0, \]

donde si ricava il solo vincolo 2y^{2}+y-1=0; si calcola

\[ y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}\; \Longrightarrow\;  y_{1}=\frac12,\quad y_{2}=-1, \]

entrambi compatibili con il requisito y\neq\pm3.

Si ritorna allora alla variabile originaria. Con y=\log_{\,\frac13}(1-x) si ha

\[ \begin{aligned} y=\frac12&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{1/2}=\frac1{\sqrt3} \;\Longrightarrow\;x=1-\frac1{\sqrt3},\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{-1}=3 \;\Longrightarrow\;x=-2. \end{aligned} \]

Entrambi i valori soddisfano il vincolo iniziale x<1; l’insieme soluzione risulta pertanto

\[ \boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{-2,\;1-\dfrac1{\sqrt3}\Bigr\}.} \]


 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Bergamini, G., Trifone, P. & Barozzi, G., Corso base blu di matematica. Volume 3, Zanichelli (ultima edizione).

[2] Matematika.it, Esercizi su esponenziali e logaritmi.