Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 1

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\ln^2x - 4=0\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero, per cui

    \[\boxed{C.E. \quad x>0}\]

Risoluzione.
Dato che compare un logaritmo elevato al quadrato, utilizziamo l’incognita ausiliaria t ponendola uguale al logaritmo, cioè

    \[t= \ln x\]

per cui l’equazione diviene

    \[t^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad t=\pm 2\]

e quindi

    \[\ln x = - 2 \; \vee \; \ln x = 2\]

Con la definizione di logaritmo ricaviamo

    \[x = e^{-2} \; \vee \; x=e^2\]

Conclusione.
I valori trovati sono accettabili perché rientrano nelle condizioni di esistenza, cioè sono maggiori di zero, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = e^{-2} \; \vee \; x=e^2}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini