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Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

Home » Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 3

Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\dfrac{1}{\log_2^2x - 1} + \dfrac{1}{\log_2 x + 1} = \dfrac{1}{1-\log_2 x}\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero e che i denominatori siano diversi da zero, per cui

    \[\begin{cases} \log_2 x \neq 1\\ \log_2 x \neq - 1\\ x>0 \end{cases} \Rightarrow \; \begin{cases} x \neq 2\\ x \neq \frac{1}{2}\\ x>0 \end{cases}\]

e quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x>0 \; \wedge \; x \neq 2 \; \wedge \; x \neq \dfrac{1}{2}}\]

Risoluzione.
Dato che compare un logaritmo elevato al quadrato ma anche in differenti denominatori, utilizziamo l’incognita ausiliaria t ponendola uguale al logaritmo, cioè

    \[t= \log_2 x\]

per cui l’equazione diviene

    \[\dfrac{1}{t^2-1}+\dfrac{1}{t+1}= \dfrac{1}{1-t} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{(t-1)(t+1)}+\dfrac{1}{t+1}= \dfrac{1}{1-t} \quad \Rightarrow \quad 1 + (t-1) = - (t+1)\]

dove abbiamo imposto le condizioni di esistenza già scritte nel primo punto. Dunque abbiamo

    \[1 + (t-1) = - (t+1) \quad \Rightarrow \quad t= -\dfrac{1}{2}\]

Con la definizione di logaritmo ricaviamo

    \[x = 2^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \overset{\star}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

dove in \star abbiamo razionalizzato.

Conclusione.
Il valore trovato è accettabile perché rientra nelle condizioni di esistenza, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini
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