Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 2

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

Home » Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 2

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere l’equazione

    \[\log_3^2 x - \log_3 x -2=0\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero, per cui

    \[\boxed{C.E. \quad x>0}\]

Risoluzione.
Dato che compare un logaritmo elevato al quadrato, utilizziamo l’incognita ausiliaria t ponendola uguale al logaritmo, cioè

    \[t= \log_3 x\]

per cui l’equazione diviene

    \[t^2-t-2=0 \quad \Rightarrow \quad t=\dfrac{1\pm3}{2}\]

da cui

    \[t = 2 \; \vee \; t = -1\]

e quindi

    \[\log_3 x = 2 \; \vee \; \log_3 x = -1\]

Con la definizione di logaritmo ricaviamo

    \[x = 3^2=9 \; \vee \; x=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\]

Conclusione.
I valori trovati sono accettabili perché rientrano nelle condizioni di esistenza, cioè sono maggiori di zero, quindi

    \[\boxed{ S: \quad x = 9 \; \vee \; x=\dfrac{1}{3}}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini