Disequazioni logaritmiche con variabile ausiliaria

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni logaritmiche risolte mediante l’utilizzo di una variabile ausiliaria.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2^2 x + 4\log_2 x-5 \ge0.$

Svolgimento.

Per prima cosa bisogna determinare la condizione di esistenza:

$C.E.=\{x \in \mathbb{R}\vert:\, x>0\}.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$t^2 + 4t-5 \ge0.$

Poniamo

$t^2 + 4t-5 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -2\pm \sqrt{9},$

da cui

$t=1 \; \vee \; t=-5$

e quindi

$t\le-5 \; \vee \; t\ge 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$\log_2x\le-5 \; \vee \; \log_2x\ge 1,$

da cui

$x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2, \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \geq 2 \right\}. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.$

Svolgimento.

Per prima cosa bisogna determinare la condizione di esistenza:

$\begin{cases} x^2>0\\ x>0 \end{cases}$

ottenendo

$C.E. = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \right\}.$

Innanzitutto con le proprietà dei logaritmi otteniamo

$\log_2 x^2 = 2 \log_2 \vert x \vert \overset{\star}{=} 2 \log_2 x$

dove in $\star$ abbiamo utilizzato la condizione di esistenza. Dunque

$\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3 \quad \Rightarrow \quad 2\log_2 x + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$2t + \dfrac{1}{t} - 3 \le 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2t^2-3t+1}{t}\le0,$

da cui

$\begin{aligned} &N(t) = 2t^2-3t+1\ge0 \quad \Rightarrow \quad t\le \dfrac{1}{2} \; \vee \; t \ge 1\\ &D(t) = t >0 \end{aligned}$

e con la regola dei segni

$\quad$

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$\quad$

abbiamo

$t<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le x \le 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$\log_2x<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le \log_2x \le 1,$

da cui

$x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2.$

Conclusione.

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2, \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \; \vee \; \sqrt{2} \leq x \leq 2 \right\}. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2^3x -\log_2x \ge0.$

Svolgimento.

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo quindi

$C.E. = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \right\}.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$t^3 -t \ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t^2-1)\ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t-1)(t+1)\ge0,$

da cui con la regola dei segni

$\quad$

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$\quad$

abbiamo

$-1 \le t \le 0 \; \vee \; t \ge 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$-1 \le \log_2 x \le 0 \; \vee \; \log_2 x \ge 1,$

da cui

$\dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2, \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1 \; \vee \; x \geq 2 \right\}. }$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log^2 x - 6 \log \sqrt{x} >-2.$

Svolgimento.

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo

$\begin{cases} x\ge0\\ x>0 \end{cases}$

e quindi

$C.E. = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \right\}$

Innanzitutto con le proprietà dei logaritmi abbiamo

$6 \log \sqrt{x} = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \log x = 3 \log x$

quindi

$\log^2 x - 3 \log x >-2.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log x$

ottenendo

$t^2-3t+2>0.$

Dall’equazione associata otteniamo

$t=1 \; \vee \; t=2$

e quindi

$t<1 \; \vee \; t>2.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log x$ ottenendo

$\log x<1 \; \vee \; \log x>2,$

da cui

$x<10 \; \vee \; x>100.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x<10 \; \vee \; x>100, \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 10 \; \vee \; x > 100 \right\}. }$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quali sono le soluzioni reali della seguente disequazione?

$\log^2(x)+\log(x^2)-8\geq 0.$

Svolgimento.

La disequazione data ha senso solo per $x>0$ , che è dove il logaritmo esiste.

Osserviamo che $\log(x^2)=2\log(x)$ , per cui ponendo $z:=\log(x)$ si ottiene

$z^2+2z-8\geq 0.$

Le soluzioni dell’equazione $z^2+2z-8=0$ sono

$z_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-(-8)}}{1}= -1\pm 3 \quad \implies \quad z_1=-4 \qquad \makebox{e} \qquad z_2=2.$

I valori di $z$ per cui $z^2+2z-8$ è non negativo sono quindi $z\leq -4$ , $z\geq 2$ . Adesso sostituiamo di nuovo $\log(x)$ al posto di $z$ e risolviamo le due diesquazioni:

$\log(x)\leq -4\implies x\leq e^{-4} \qquad \makebox{e} \qquad \log(x)\geq 2 \implies x\geq e^2.$

Quindi le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{0< x\leq \frac{1}{e^4} \quad \vee \quad x\geq e^2.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\bigl(\log_{10} x\bigr)^{2} \;-\; 7\log_{10} x \;+\; 12 \;<\; 0.$

Svolgimento.

La presenza del logaritmo richiede anzitutto la condizione di esistenza $x>0$ . Per abbreviare, si pone $t=\log x$ ; in tal modo l’espressione diventa

$t^{2}-7t+12<0,$

che fattorizzata assume la forma $(t-3)(t-4)<0$ . Poiché il polinomio assume segno negativo per i valori di $t$ compresi tra le sue radici, ne consegue

$3<t<4.$

Tornando alla variabile originaria, la disuguaglianza $3<\log_{10} x<4$ equivale a $10^{3}<x<10^{4}$ . La soluzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=(10^{3},10^{4}).}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2 - \log_{\frac{1}{2}} x - 2 < 0$

Svolgimento.

Per la presenza del logaritmo si richiede

$x > 0.$

Ponendo $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ , la disequazione diventa:

$y^2 - y - 2 < 0.$

Poiché il polinomio ha radici $-1,2$ , esso assume segno negativo per $y$ compreso tra esse:

$-1 < y < 2.$

Poiché la base del logaritmo $\frac{1}{2} \in (0,1)$ , la funzione $\log_{\frac{1}{2}} x$ è strettamente decrescente, quindi il verso delle disuguaglianze si inverte:

$-1 < \log_{\frac{1}{2}} x < 2 \iff \left(\frac{1}{2}\right)^{2} < x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \iff \frac{1}{4}< x < 2$

Dato che tali soluzioni verificano la condizione di esistenza $x>0$ , sono accettabili:

$\boxcolorato{superiori}{ S = \left ( \frac{1}{4},2\right ).}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2 - \log_{\frac{1}{2}} x - 2 < 0$

Svolgimento.

Ponendo $t=\log_{3}x$ e ricordando che il logaritmo richiede $x>0$ , l’espressione diventa

$2t^{2}+3t-2<0.$

Il trinomio ha radici

$t=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} =\frac{-3\pm5}{4} \;\Longrightarrow\; t_{1}=-2,\qquad t_{2}=\frac12.$

La disequazione si verifica per i valori di $t$ compresi tra le radici:

$-2<t<\frac12.$

Tornando alla variabile originaria, si ottiene

$\log_3 3^{-2} < \log_3 x < \log_3 3^{\frac{1}{2}} \iff \frac19<x<\sqrt3,$

dove abbiamo sfruttato il fatto che la funzione $\log_3$ è crescente avendo base maggiore di $1$ . Tali soluzioni verificano la condizione di esistenza $x>0$ e quindi sono accettabili:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left ( \frac{1}{9}, \sqrt{3}\right ).}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{2}{\log_{\frac{2}{3}}(x) - 1} \;>\; \frac{\log_{\frac{2}{3}}(x)}{\log_{\frac{2}{3}}(x) - 1}$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza si ricavano imponendo positivi gli argomenti dei logaritmi e non nulli i denominatori:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_{\frac23}x-1\neq0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq \frac{2}{3} \end{cases} \iff x \in \left (0,\frac{2}{3} \right ) \cup \left (\frac{2}{3},+\infty\right ).$

Introduciamo la variabile ausiliaria

$t=\log_{\tfrac23}x\qquad(t\in\mathbb R,\;t\neq1),$

in modo da riscrivere la disequazione assegnata nella forma

$\frac{2}{t-1}>\frac{t}{t-1} \;\Longleftrightarrow\; \frac{2-t}{t-1}>0.$

Un quoziente è positivo quando numeratore e denominatore sono concordi; richiedendo

$\begin{cases} 2-t>0,\\[4pt] t-1>0, \end{cases} \qquad \Longrightarrow\qquad 1<t<2$

(si noti che il caso $2-t<0$ e $t-1<0$ è impossibile), otteniamo l’intervallo

$1<t<2.$

Tornando alla variabile originaria occorre risolvere la disuguaglianza

$1<\log_{\frac23}x<2 \iff \log_{\frac23} \frac{2}{3} < \log_{\frac23} x < \log_{\frac23} \frac{4}{9}$

Poiché la base $\frac23$ appartiene a $(0,1)$ , la funzione logaritmica è strettamente decrescente e la disequazione è equivalente alla disuguaglianza inversa tra gli argomenti:

$\frac{4}{9}< x < \frac{2}{3}.$

Tali soluzioni sono accettabili, facendo parte del dominio precedentemente ricavato:

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (\frac49,\frac23 \right ).}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\bigl(\log_{2}(x+5)\bigr)^{2} - \log_{2}(x+5) - 6 \;>\; 0$

Svolgimento.

La condizione di esistenza dei logaritmi in esame è

$x+5>0 \iff x>-5.$

Introduciamo la variabile ausiliaria

$t=\log_{2}(x+5)\qquad(t\in\mathbb R),$

così da trasformare la disequazione data in una quadratica pura:

$t^{2}-t-6>0 \iff (t-3)(t+2)>0 \iff t<-2\,\vee \,t>3.$

Tornando alla variabile originaria abbiamo le due alternative

$\log_{2}(x+5)<-2=\log_2 \frac{1}{4} \,\vee \, \log_{2}(x+5)>3= \log_2 8.$

Poiché la base $2>1$ , la funzione logaritmica è strettamente crescente, le disuguaglianze sono equivalenti alle stesse disuguaglianze tra gli argomenti dei logaritmi:

$x+5 < \frac{1}{4} \,\vee\, x+5 > 8 \iff x<- \frac{19}{4} \,\vee \, x>3$

Infine si intersecano tali intervalli con il dominio $(-5,+\infty)$ :

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (-5,\,-\frac{19}{4}\right )\;\cup\;(3,+\infty).}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{1}{\log_{10}(x - 1)} < -1$

Svolgimento.

Affinché la disequazione abbia senso occorre imporre che l’argomento del logaritmo sia positivo e il denominatore della frazione sia diverso da $0$ :

$\begin{cases} x-1>0 \\ \log_{10}(x-1)\neq 0=\log_10 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x>1 \\ x-1\neq 1 \end{cases} \iff x \in (1,2) \cup (2,+\infty).$

Affinché $\frac{1}{t}<-1$ deve valere $t<0$ e $t>-1$ , dunque la disequazione è equivalente a

$-1<\log_{10}(x-1) <0 \iff \frac{1}{10} < x-1 < 1 \iff \frac{11}{10}< x < 2.$

La soluzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (\frac{11}{10},\,2\right ).}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\log_{10}^{3}x \;-\; 4\log_{10}^{2}x \;+\; 4\log_{10}x \;\le 0.$

Svolgimento.

Si ponga

$t=\log_{10}x, \qquad x>0,$

così la disequazione diventa

$t^{3}-4t^{2}+4t\le0.$

Si fattorizza il polinomio:

$t^{3}-4t^{2}+4t = t\,(t-2)^{2}.$

Poiché $(t-2)^{2}\ge0$ per ogni $t$ ed è nullo soltanto in $t=2$ , la disuguaglianza è verificata quando

$t\le0 \qquad\text{oppure}\qquad t=2.$

Si torna ora alla variabile originaria:

$t\le0 \;\Longleftrightarrow\; \log_{10}x\le0 \;\Longleftrightarrow\; 0<x\le1, \qquad t=2 \;\Longleftrightarrow\; \log_{10}x=2 \;\Longleftrightarrow\; x=100.$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=(0,1]\cup\{100\}.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\log_{2}^{2}(x-1)-9\log_{2}(x-1)+20} {\,\lvert\log_{2}(x-1)\rvert} \;\le\;0.$

Svolgimento.

Per la definizione del logaritmo serve $x-1>0$ ovvero $x>1$ ; inoltre il denominatore $\lvert\log_{2}(x-1)\rvert$ deve essere diverso da $0$ annullarsi, perciò si deve imporre $\log_{2}(x-1)\neq0$ , ovvero $x\neq2$ . Le condizioni di esistenza sono dunque

$x \in (1,2) \cup (2,+\infty).$

Introducendo la variabile ausiliaria $t=\log_{2}(x-1)$ (con $t\neq0$ ) l’espressione diventa

$\frac{t^{2}-9t+20}{|t|}\le0.$

Poiché il valore assoluto è sempre positivo, il rapporto ha lo stesso segno del numeratore; di conseguenza occorre $t^{2}-9t+20\le0$ . Scomponendo il trinomio si ottiene $(t-4)(t-5)\le0$ , ossia $t\in[4,5]$ . Tale intervallo non contiene lo zero, quindi la condizione $t\neq0$ è automaticamente rispettata. Tornando alla variabile originale,

$t=\log_{2}(x-1)\in[4,5] \iff x-1\in[2^{4},2^{5}]=[16,32] \iff x\in[17,33].$

Il risultato è compatibile con il dominio $x>1,\;x\neq2$ ; pertanto l’insieme soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=[17,33].}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\log_{2}(x+1)}{4}\;>\;\frac13\,\log_{4}\!\bigl(x\sqrt{x}+1\bigr).$

Svolgimento.

Poiché la condizione di esistenza della radice quadrata è $x \geq 0$ , ne segue che gli argomenti dei logaritmi sono entrambi positivi. Il campo di esistenza della disequazione è quindi

$x \geq 0.$

Per rendere più agevole il confronto, si riscrive il secondo logaritmo in base $2$ e si sfruttano le proprietà dei logaritmi:

$\begin{aligned} \frac{\log_2(x+1)}{4}> \frac{1}{3} \cdot \frac{\log_2(x\sqrt{x}+1)}{2} & \iff 3\log_2(x+1) > 2 \log_2(x\sqrt{x}+1) \\ & \iff (x+1)^3 > (x\sqrt{x}+1)^2, \end{aligned}$

Sviluppando il cubo e il quadrato si ottiene

$\begin{aligned} x^3 + 3x^2+3x + 1 > x^3 + 2\sqrt{x}x + 1 & \iff 3x^2-2\sqrt{x}x + 3x>0 \\ & \iff x(3x-2\sqrt{x}+3)>0 \\ & \iff x\Big( (\sqrt{x}+1)^2 + 2(x+1)\Big)>0 \end{aligned}$

che è verificata per $x>0$ in quanto nel dominio $x \geq 0$ il primo fattore è positivo e si annulla solo per $x=0$ , mentre il secondo fattore è la somma di un quadrato con $x+1$ che è maggiore o uguale a $1$ . Alternativamente, si poteva porre $t=\sqrt{x}$ e studiare il segno di

$t^2(3t^2-2t+3)$

in cui il secondo fattore è sempre positivo in quanto il discriminante è negativo. In ogni caso, l’espressione è verificata per ogni $x>0$ , dunque la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(0,+\infty).}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\sqrt{\log_{2}x}\;-\;6\,\log_{2}\sqrt{x}\;>\;0.$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, ovvero $x>0$ . Ciò implica che l’argomento della radice, e quindi l’argomento del secondo logaritmo, è strettamente positivo. Inoltre occorre la presenza della radice quadrata richiede $\log_{2}x\ge0$ , cioè

$x \geq 1.$

Sostituendo $\displaystyle\log_{2}\sqrt{x}=\frac12\log_{2}x$ la disequazione diventa

$\sqrt{\log_{2}x}-3\log_{2}x>0.$

Si ponga $y=\sqrt{\log_{2}x}$ ; allora $\log_{2}x=y^{2}$ e

$y-3y^{2}>0 \iff y\,(1-3y)>0.$

Il prodotto è positivo soltanto per $0<y<\tfrac13$ ; passando alla variabile originaria si ottiene

$0<\log_{2}x<\frac1{9} \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<2^{1/9},$

ovvero

$\boxcolorato{superiori}{S=(1,2^{1/9}).}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\log x - 1}{\log x + 1}-\frac{1}{\log x - 1} \;<\; \frac{4}{1 - \bigl(\log x\bigr)^{2}}.$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza della disequazione si ricavano imponendo positivi gli argomenti dei logaritmi e i denominatori non-nulli:

$\begin{cases} x >0 \\ \log x \neq \pm 1 \end{cases} \iff x \in (0,+\infty) \setminus \{e^{-1},e\}.$

Per risolvere la disequazione, poniamo $t=\log x$ ; con questa variabile la disequazione diventa

$\begin{aligned} \frac{t-1}{t+1}-\frac{1}{t-1} \;<\; \frac{4}{1-t^{2}} & \iff \frac{(t-1)^2 - (t+1)+4}{(t-1)(t+1)}<0 \\ & \iff \frac{t^2-3t+4}{(t-1)(t+1)}>0. \end{aligned}$

Osserviamo che il polinomio al numeratore si può scrivere come $t^2-3t + \frac{9}{4} + \frac{7}{4}= \left (t- \frac{3}{2}\right )^2+ \frac{7}{4}$ , che è sempre positivo. Dunque il segno della frazione coincide con quello del denominatore. Esso è negativo se e solo se i due fattori hanno segno discorde, e ciò avviene se e solo se

$-1< t < 1.$

Tornando alla variabile originale si ottiene

$-1 < \log x < 1$

e, tenendo conto anche delle condizioni di esistenza, ciò si traduce nella soluzione

$\boxcolorato{superiori}{\dfrac1e<x<e.}$

L’intervallo trovato è contenuto nel dominio iniziale, pertanto rappresenta la soluzione richiesta.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\displaystyle 5} {\log_{\frac12}^{2}x-5\log_{\frac12}x+6} \;-\; \frac{\displaystyle 1} {\log_{\frac12}^{2}x-3\log_{\frac12}x+2} \;-\; \frac{\displaystyle 3} {\log_{\frac12}^{2}x-4\log_{\frac12}x+3} \;<\;0 .$

Svolgimento.

Poiché $\log_{\frac12}x$ è definito per $x>0$ , poniamo $t=\log_{\frac12}x\in\mathbb R$ ; così la disequazione diventa

$\begin{aligned} \frac{5}{t^{2}-5t+6}-\frac{1}{t^{2}-3t+2}-\frac{3}{t^{2}-4t+3}<0. \end{aligned}$

Scomponendo i numeratori la disequazione si scrive come

$\frac{5}{(t-3)(t-2)} - \frac{1}{(t-2)(t-1)} - \frac{3}{(t-3)(t-1)}<0.$

Ponendo tutto a comune denominatore si ha

$\begin{aligned} \frac{5(t-1) - (t-3) - 3(t-2)}{(t-3)(t-2)(t-1)} <0 & \iff \frac{t+4}{(t-3)(t-2)(t-1)} <0 \end{aligned}$

Lo studio del prodotto dei segni mostra che la frazione è negativa per

$t\in(-4,1)\;\cup\;(2,3).$

Osserviamo che i valori $t=3,2,1$ vanno comunque esclusi dalle condizioni di esistenza in quanto annullano i denominatori delle frazioni.

Tornando alla variabile originaria e ricordando che il logaritmo in base $\frac{1}{2}$ è strettamente decrescente, si ha

$t\in(-4,1) \iff \;\frac{1}{2}<x<16, \qquad t\in(2,3) \iff \;\frac{1}{8}<x<\frac{1}{4}.$

L’insieme soluzione risulta

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (\frac18,\frac14 \right )\;\cup\;\left (\frac12,16 \right ).}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\frac{\log_{\frac13}^{2}(1-x)-1}{\log_{\frac13}^{2}(1-x)-9} -\frac{1}{\log_{\frac13}(1-x)+3} +\frac{\log_{\frac13}(1-x)-1}{\log_{\frac13}(1-x)-3}<0.$

Svolgimento.

I logaritmi hanno tutti argomento $1-x$ , pertanto sono definiti per $x<1$ . Occorre anche imporre che i denominatori non si annullino, ma ciò sarà effettuato durante la risoluzione dell’equazione.

Ponendo $t=\log_{\frac13}(1-x)$ ed effettuando il minimo comune multiplo delle frazioni si ottiene la forma compatta

$\frac{t^2-1}{(t-3)(t+3)} - \frac{1}{t+3} + \frac{t-1}{t-3}<0 \iff \frac{2t^{2}+t-1}{t^{2}-9}<0.$

Per studiare il segno del numeratore, lo fattorizziamo come

$t^2+t +t^2-1 = t(t+1) + (t-1)(t+1) = (t+t-1)(t+1) = (2t-1)(t+1),$

che è positivo per

$t<-1 \,\, \vee \,\, t> \frac{1}{2}.$

Il denominatore è invece positivo per

$t<-3 \,\, \vee \,\, t> 3.$

La frazione è negativa quando il segno di numeratore e denominatore è discorde, ovvero per

$-3<t<-1 \,\, \vee \,\, \frac{1}{2} < t < 3.$

Poiché $1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{t}$ , tale condizione equivale a

$x=1-\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{t}\in(-26,-2)\;\cup\;\left(1-\frac1{\sqrt3},\frac{26}{27}\right).$

La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{S=(-26,-2)\;\cup\;\Bigl(1-\tfrac1{\sqrt3},\;\tfrac{26}{27}\Bigr).}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere nell’insieme dei numeri reali la seguente disequazione:

$\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\log_{10}x^{2}}+2 \;>\; 3\cdot 2^{-\log_{10}(-x)}.$

Svolgimento.

Affinché gli argomenti dei logaritmi siano positivi deve aversi

$\begin{cases} x^2 >0 \\ -x>0 \end{cases} \iff x<0.$

Sfruttiamo $\frac{1}{2}=2^{-1}$ , $x^2=(-x)^2$ e le proprietà dei logaritmi per scrivere la disequazione come

$2^{-2\log_{10}(-x)} - 3\cdot 2^{-\log_{10}(-x)}+2>0.$

Ponendo $u \coloneqq 2^{-\log_{10}(-x)},$ il confronto si riduce al polinomio quadratico

$u^{2}-3u+2>0 \iff (u-1)(u-2)>0 \iff u<1 \,\,\vee \,\, u>2.$

Ricordando $u = 2^{-\log_{10}(-x)}$ , ciò equivale a

$\begin{aligned} 2^{-\log_{10}(-x)}< 1 \,\,\vee \,\, 2^{-\log_{10}(-x)}>2 & \iff \log_{10}(-x)>0 \,\,\vee \,\, \log_{10}(-x)<-1 \\ & \iff -x>1 \,\,\vee \,\, -x<\frac{1}{10}. \end{aligned}$

Ricordando anche la condizione di esistenza $x<0$ , la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-1)\;\cup\;\left (-\frac{1}{10},0\right ).}$

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Disequazioni fratte.

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