Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 4

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Ottieni il documento contenente 4 disequazioni logaritmiche risolte con la variabile ausiliaria.

Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log^2 x - 6 \log \sqrt{x} >-2.$

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo

$\begin{cases} x\ge0\\ x>0 \end{cases}$

e quindi

$\boxcolorato{superiori}{ C.E. \quad x>0.}$

Innanzitutto con le proprietà dei logaritmi abbiamo

$6 \log \sqrt{x} = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \log x = 3 \log x$

quindi

$\log^2 x - 3 \log x >-2.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log x$

ottenendo

$t^2-3t+2>0.$

Dall’equazione associata otteniamo

$t=1 \; \vee \; t=2$

e quindi

$t<1 \; \vee \; t>2.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log x$ ottenendo

$\log x<1 \; \vee \; \log x>2$

da cui

$x<10 \; \vee \; x>100.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x<10 \; \vee \; x>100 \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ S: 0<x<10 \; \vee \; x>100.}$

Fonte: La matematica a colori 3, ed. Verde – Petrini