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Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

Home » Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 3

Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la disequazione

    \[\log_2^3x -\log_2x \ge0\]

 

Soluzione

Condizioni di esistenza.
Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo quindi

    \[\boxed{C.E. \quad x>0}\]

Risoluzione.
Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

    \[t = \log_2 x\]

ottenendo

    \[t^3 -t \ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t^2-1)\ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t-1)(t+1)\ge0\]

da cui con la regola dei segni

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abbiamo

    \[-1 \le t \le 0 \; \vee \; t \ge 1\]

Ora andiamo a sostituire t=\log_2x ottenendo

    \[-1 \le \log_2 x \le 0 \; \vee \; \log_2 x \ge 1\]

da cui

    \[\dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2\]

Conclusione.
Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

    \[\begin{cases} x>0\\\\ \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2 \end{cases}\]

da cui

    \[\boxed{ S: \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2}\]


Fonte: La matematica a colori 3, ed. Verde – Petrini