Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 3

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Ottieni il documento contenente 4 disequazioni logaritmiche risolte con la variabile ausiliaria.

Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere la disequazione

$\log_2^3x -\log_2x \ge0.$

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo quindi

$\boxcolorato{superiori}{C.E. \quad x>0.}$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$t^3 -t \ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t^2-1)\ge0 \quad \Rightarrow \quad t(t-1)(t+1)\ge0$

da cui con la regola dei segni

abbiamo

$-1 \le t \le 0 \; \vee \; t \ge 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$-1 \le \log_2 x \le 0 \; \vee \; \log_2 x \ge 1$

da cui

$\dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2 \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{S: \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \; \vee \; x \ge 2.}$

Fonte: La matematica a colori 3, ed. Verde – Petrini