Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 1

Home » Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 1

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 4 disequazioni logaritmiche risolte con la variabile ausiliaria.

Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere la disequazione

$\log_2^2 x + 4\log_2 x-5 \ge0.$

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, ottenendo quindi

$\boxcolorato{superiori}{C.E. \quad x>0. }$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$t^2 + 4t-5 \ge0.$

Poniamo

$t^2 + 4t-5 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -2\pm \sqrt{9}$

da cui

$t=1 \; \vee \; t=-5$

e quindi

$t\le-5 \; \vee \; t\ge 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$\log_2x\le-5 \; \vee \; \log_2x\ge 1$

da cui

$x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2.$

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2 \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{S: 0<x\le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2. }$

Fonte: La matematica a colori 3, ed. Verde – Petrini