Proprietà dei logaritmi – Esercizio 3

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

    \[\log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5}\]

 

Soluzione

Siano a,b,c \in \mathbb{R}^+ con a \neq 1.
Le proprietà dei logaritmi sono:

    \[\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

    \[\begin{aligned} & \log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log 25^{\frac{1}{4}} - \log \left[5^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{3}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log \left[5^2\right]^{\frac{1}{4}} - \log 5^{\frac{1}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log 5^{\frac{1}{2}} - \log 5^{\frac{1}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \cancel{\log 5^{\frac{1}{2}}} \cancel{- \log 5^{\frac{1}{2}}} \end{aligned}\]

Con la seconda proprietà e razionalizzando otteniamo

    \[\begin{aligned} & \log 5 - \log \sqrt{5}= \log \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \log \dfrac{5}{\sqrt{5}} \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \log \sqrt{5} \end{aligned}\]

Quindi concludiamo che

    \[\boxed{ \log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5} = \log \sqrt{5}}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini