Proprietà dei logaritmi – Esercizio 2

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

    \[\log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10}\]

 

Soluzione

Siano a,b,c \in \mathbb{R}^+ con a \neq 1.
Le proprietà dei logaritmi sono:

    \[\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

    \[\begin{aligned} & \log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 600 - \log_3 2^2 + \log_3 25^{\frac{1}{2} } + \log_3 \dfrac{3}{10} =\\\\ & = \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 \sqrt{25} + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 5 + \log_3 \dfrac{3}{10} \end{aligned}\]

Utilizzando ora la prima e seconda proprietà abbiamo

    \[\begin{aligned} & \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 5 + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 \dfrac{600 \cdot \dfrac{3}{10} \cdot 5}{4} = \log_3 225 = \\\\ & = 2 \log_3 15 = 2 \log_3 (3 \cdot 5) = 2 \log_3 3 + 2\log_3 5 = 2 + 2\log_3 5 \end{aligned}\]

Quindi

    \[\boxed{\log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10} = 2 + 2\log_3 5}\]


Fonte: Qui Si Risolve