Proprietà dei logaritmi – Esercizio 1

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

    \[2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16\]

 

Soluzione

Siano a,b,c \in \mathbb{R}^+ con a \neq 1.
Le proprietà dei logaritmi sono:

    \[\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

    \[\begin{aligned} & 2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \\\\ & = \log 4^2 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \\\\ & = \cancel{\log 16} - \log 2 + \log 8 - \cancel{\log 16} = \\\\ & = \log 2 + \log 8 = \\\\ & = \log \dfrac{8}{2} = \log 4 \end{aligned}\]

Quindi

    \[\boxed{ 2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \log 4}\]


Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini