Logaritmi – Dominio e proprietà

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Sommario

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Raccolta di esercizi su dominio e proprietà di base dei logaritmi.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Ricavare il valore della $x$ applicando la definizione di logaritmo:

$\begin{aligned} & \text{a) } \log_2 8 = x\\ & \text{b) } \log_{10} 10 = x\\ & \text{c) } \log_{25} 5 = x\\ & \text{d) } \log_x 8 = 3\\ & \text{e) } \ln x = 0. \end{aligned}$

Svolgimento.

La definizione di logaritmo con $a,b \in \mathbb{R}^+$ , $a \neq 1$ e $c \in \mathbb{R}$ è:

(1) $\begin{equation*} \log_a b = c \; \Leftrightarrow \; a^c = b. \end{equation*}$

Utilizziamo la definizione

$\begin{aligned} & \text{a) } \log_2 8 = x \; \Leftrightarrow \; 2^x = 8 \; \Leftrightarrow \; 2^x = 2^3 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=3 }} \\\\ & \text{b) } \log_{10} 10 = x \; \Leftrightarrow \; 10^x = 10 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=1 }}\\\\ & \text{c) } \log_{25} 5 = x \; \Leftrightarrow \; 25^x = 5 \; \Leftrightarrow \;5^{2x}=5 \; \Leftrightarrow \;2x=1 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=\dfrac{1}{2} }}\\\\ & \text{d) } \log_x 8 = 3 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 8 \; \Leftrightarrow \;x^3 = 2^3 \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=2 }}\\\\ & \text{e) } \ln x = 0 \; \Leftrightarrow \; x=e^0 \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=1. }} \end{aligned}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Ricavare il valore della $x$ applicando la definizione di logaritmo:

$\begin{aligned} & \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x\\ & \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x\\ & \text{c) } \log_x 1000 = 3\\ & \text{d) } \log_2 x = -3\\ & \text{e) } \log_{10} x = 0. \end{aligned}$

Svolgimento.

La definizione di logaritmo con $a,b \in \mathbb{R}^+$ , $a \neq 1$ e $c \in \mathbb{R}$ è:

(2) $\begin{equation*} \log_a b = c \; \Leftrightarrow \; a^c = b. \end{equation*}$

Utilizziamo la definizione

$\begin{aligned} & \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x \; \Leftrightarrow \; 5^x = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \; \Leftrightarrow \; 5^x = 5^{-1/2} \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=-\dfrac{1}{2} }}\\\\ & \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x \; \Leftrightarrow \; 3^x = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = \dfrac{3 \cdot 3^{1/2}}{3^{1/4}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = 3^{1+1/2-1/4} \; \Leftrightarrow \; x = 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x = \dfrac{5}{4} }} \\\\ & \text{c) } \log_x 1000 = 3 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 1000 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 10^3 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=10 }}\\\\ & \text{d) } \log_2 x = -3 \; \Leftrightarrow \; x=2^{-3} \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=\dfrac{1}{8} }} \\\\ & \text{e) } \log_{10} x = 0 \; \Leftrightarrow \; x=10^0 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=1. }} \end{aligned}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione logaritmica $f: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ :

$f(x)=\log_2 (x+4).$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, pertanto si pone $x+4>0$ , da cui deduciamo che il dominio è

$\boxcolorato{superiori}{\mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \, | \, x>-4\}. }$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione logaritmica $f: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ :

$f(x)=\log_3(x^2+3x+4).$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, pertanto si pone $x^2+3x+4>0$ . Scriviamo l’equazione associata e la risolviamo

$x^2+3x+4 =0 \quad \Rightarrow \quad \Delta = 9 - 16 = -7 < 0$

ma il discriminante è negativo, pertanto l’equazione è impossibile; ciò vuol dire che la parabola, essendo concava verso l’alto è sempre positiva, quindi la disequazione è sempre verificata. Deduciamo dunque che il dominio è

$\boxcolorato{superiori}{\mathcal{D} = \mathbb{R}. }$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione logaritmica $f: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ :

$f(x)=\ln(3x-1) + \ln(5-x).$

Svolgimento.

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, pertanto entrambi gli argomenti devono essere contemporaneamente positivi:

$\begin{cases} 3x-1>0\\ 5-x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>\dfrac{1}{3}\\\\ x<5. \end{cases}$

Deduciamo dunque che il dominio è

$\boxcolorato{superiori}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \bigg\vert \, \dfrac{1}{3}<x<5\right\}. }$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

$2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16.$

Svolgimento.

Siano $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ con $a \neq 1$ . Le proprietà dei logaritmi sono:

$\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

$\begin{aligned} & 2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \\\\ & = \log 4^2 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \\\\ & = \cancel{\log 16} - \log 2 + \log 8 - \cancel{\log 16} = \\\\ & = \log 2 + \log 8 = \\\\ & = \log \dfrac{8}{2} = \log 4. \end{aligned}$

Quindi

$\boxcolorato{superiori}{2 \log 4 - \log 2 + \log 8-\log 16 = \log 4. }$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

$\log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10}.$

Svolgimento.

Siano $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ con $a \neq 1$ . Le proprietà dei logaritmi sono:

$\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

$\begin{aligned} & \log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 600 - \log_3 2^2 + \log_3 25^{\frac{1}{2} } + \log_3 \dfrac{3}{10} =\\\\ & = \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 \sqrt{25} + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 5 + \log_3 \dfrac{3}{10}. \end{aligned}$

Utilizzando ora la prima e seconda proprietà abbiamo

$\begin{aligned} & \log_3 600 - \log_3 4 + \log_3 5 + \log_3 \dfrac{3}{10} = \\\\ & = \log_3 \dfrac{600 \cdot \dfrac{3}{10} \cdot 5}{4} = \log_3 225 = \\\\ & = 2 \log_3 15 = 2 \log_3 (3 \cdot 5) = 2 \log_3 3 + 2\log_3 5 = 2 + 2\log_3 5. \end{aligned}$

Quindi

$\boxcolorato{superiori}{\log_3 600 -2 \log_3 2 + \dfrac{1}{2} \, \log_3 25 + \log_3 \dfrac{3}{10} = 2 + 2\log_3 5. }$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Scrivi sotto forma di un unico logaritmo:

$\log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5}.$

Svolgimento.

Siano $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ con $a \neq 1$ . Le proprietà dei logaritmi sono:

$\begin{aligned} &1) \quad \log_a b + \log_a c = \log_a bc\\ &2) \quad \log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}\\ &3) \quad \log_a b^N = N \; \log_a b, \qquad N \in \mathbb{R}. \end{aligned}$

Dunque andiamo prima a portare i coefficienti dei logaritmi come esponenti, grazie alla terza proprietà:

$\begin{aligned} & \log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log 25^{\frac{1}{4}} - \log \left[5^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{3}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log \left[5^2\right]^{\frac{1}{4}} - \log 5^{\frac{1}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \log 5^{\frac{1}{2}} - \log 5^{\frac{1}{2}} = \\\\ & = \log 5 - \log \sqrt{5} + \cancel{\log 5^{\frac{1}{2}}} \cancel{- \log 5^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}$

Con la seconda proprietà e razionalizzando otteniamo

$\begin{aligned} & \log 5 - \log \sqrt{5}= \log \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \log \dfrac{5}{\sqrt{5}} \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \log \sqrt{5}. \end{aligned}$

Quindi concludiamo che

$\boxcolorato{superiori}{\log 5 - \log \sqrt{5} + \dfrac{1}{4}\; \log 25 - \dfrac{3}{2} \log \sqrt[3]{5} = \log \sqrt{5}. }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il campo di esistenza di

$f(x)=\log_{10}\frac{x}{x^2-9}.$

Svolgimento.

Il logaritmo di un numero in una certa base è definito solo quando l’argomento è positivo, perciò il dominio di esistenza della funzione $f$ è l’insieme dei punti $x$ per cui

$\frac{x}{x^2-9}>0. %\implies x>0 \or x^2-9>0 -3< x <0, \quad x>3.$

Dobbiamo studiare quindi i segni di $x$ e di $x^2-9=(x+3)(x-3)$ e selezionare solo l’insieme dei valori $x$ per cui il prodotto dei loro segni è positivo.

$\quad$

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$\quad$

Quindi si ottiene

$\boxcolorato{superiori}{ -3< x <0, \quad \vee \quad x>3. }$

Il grafico della funzione $f$ è mostrato in figura 1.

$\quad$

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Figura 1: grafico della funzione $f$ .

$\quad$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare la relazione esistente tra $\log_b(a)$ e $\log_c(a)$ .

Svolgimento.

La formula è quella del cambio di base del logaritmo, ma volendo la si può facilemente ricavare:

$b^{\log_b(a)}=a=c^{\log_c(a)}=\left(b^{\log_b(c)}\right)^{\log_c(a)}=b^{\log_b(c)\log_c(a)}.$

Uguagliando gli esponenti del primo e dell’ultimo membro otteniamo che

$\boxcolorato{superiori}{\log_b(a) = \log_b(c)\log_c(a).}$

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quale dei seguenti numeri differisce dagli altri?

$\quad$

$\log_3(27)$ ;

$\ln(\frac{1}{e}\cdot e^{4})$ ;

$\sqrt{\log_4{\left(2^{18}\right)}}$ ;

$-\log_{\frac{1}{3}}(3^3)$ ;

$\sqrt[3]{\log_2(2\cdot 4^{4})}$ .

Svolgimento.

Tutti i numeri tranne 5. sono uguali a $3$ :

$\begin{aligned} \log_3(27) &=\log_3(3^3)=3\log_33=3 \\ \ln\left (\frac{1}{e}\cdot e^{4}\right ) &= \ln(e^{-1}\cdot e^4)=\ln(e^{4-1})=3\ln(e)=3; \\ \sqrt{\log_4{\left(2^{18}\right)}}& = \sqrt{\log_4{\left(4^{9}\right)}}=\sqrt{9\log_4{4}}=3;\\ -\log_{\frac{1}{3}}(3^3) & =-\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}\right)=-(-3)\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)=3.\\ \end{aligned}$

Invece 5. è uguale a

$\sqrt[3]{\log_2(2\cdot 4^{4})}=\sqrt[3]{\log_2(2^9)}=\sqrt[3]{9\log_2(2)}=\sqrt[3]{9}\neq 3,$

che è quindi la risposta corretta.

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato $a>0$ , $a\neq 1$ , quanto vale il prodotto $\ln(a)\log_a(e)$ ?

Svolgimento.

Utilizziamo la proprietà dei logaritmi per cui $\log (x^y)=y\log(x)$ :

$\ln(a)\log_a(e)=\ln(a^{\log_a(e)})=\ln(e)=1.$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\ln(a)\log_a(e)=1}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Senza utilizzare la calcolatrice, quale dei seguenti numeri è il più grande?

$\log_2(3), \quad \log_4(8), \quad \log_3(2), \quad \log_5(10).$

Svolgimento.

Innanzitutto notiamo che, essendo $2 < 3$ , si ha:

$\log_3(2) <\log_3(3) = 1.$

Ricordiamo ora le queste proprietà dei logaritmi:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} \log(a\cdot b) = \log(a)+\log(b) \quad (a,b > 0); \\[4pt] \log(a^c) = c \cdot \log(a) \quad (a > 0,\ c \in \mathbb{R}). \end{split} \end{equation*}$

Cominciamo ad osservare che:

$\log_4(8) = \log_4(4\cdot2) = \log_4\left(4\cdot\sqrt{4}\,\right) = \log_4\left(4^{3/2}\right) = \frac{3}{2}.$

E ancora, dato che $\log_2(x)$ è una funzione crescente e che $9 > 8$ :

$\log_2(3) = \log_2\left(\sqrt{3^2}\,\right) = \frac{1}{2}\log_2(9) > \frac{1}{2}\log_2(8) = \frac{3}{2}.$

Infine, dato che $4 < 5$ :

$\begin{aligned} \log_5(10) = {} & \log_5(5\cdot2) = \log_5(5) + \log_5(2) = 1+ \log_5(2) = \\ = {} & 1 + \log_5\left(\sqrt{2^2}\,\right) = 1 + \frac{1}{2}\log_5(4) < 1 + \frac{1}{2}\log_5(5) = \frac{3}{2}. \end{aligned}$

Mettendo assieme le quattro relazioni trovate, concludiamo che:

$\log_3(2) < 1 < \log_5(10) < \frac{3}{2} = \log_4(8) < \log_2(3).$

$\quad$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\log_2(3).}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale delle seguenti figure rappresenta qualitativamente il grafico della funzione $f(x) = \log_{10}(x^2-2x+2)$ ?

Svolgimento.

Riscriviamo opportunamente l’argomento del logaritmo:

$x^2 - 2x + 2 = 1 + (x-1)^2.$

Questa è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto e con vertice in $(1,1)$ (che in particolare ha ascissa positiva). È quindi sempre maggiore di 1, decrescente per $x \leq 1$ e crescente per $x \geq 1$ . Applicando il logaritmo (che è una funzione monotona crescente), vengono preservate diverse proprietà del grafico: la funzione $f$ ha un minimo per $x = 1$ , è decrescente per $x < 1$ e crescente per $x > 1$ , e $f(1) = \log_{10}(1) = 0$ . In particolare, c’è un’unica intersezione (positiva) con l’asse delle ascisse. Queste caratteristiche sono consistenti solo con l’ultimo grafico.

Gli altri grafici sono facilmente esclusi. Il primo non ha intersezioni con l’asse delle ascisse. Il secondo ha un’intersezione con l’asse delle ascisse ma è negativa. Il terzo ed il quarto hanno un asintonto verticale, che la funzione $f$ non ha perché $x^2-2x+2 \ne 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{e.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale delle seguenti espressioni è uguale a $\log_{10}(10\cdot 9\cdot 8\cdots2\cdot 1)$ ?

$\quad$

$1+5\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)$ .

$1+4\log_{10}(2)+2\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+2\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+6\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)+\log_{10}(7)$ .

$2+6\log_{10}(2)+4\log_{10}(6)$ .

Svolgimento.

È sufficiente utilizzare le proprietà dei logaritmi, e raggruppare opportunamente i fattori presenti nell’argomento, mettendo in evidenza i numeri 10, 7, 6 e 2 (quelli suggeriti dalla rosa delle possibili risposte).

$\begin{aligned} \phantom{=} {} & \log_{10}(10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1) = \\ = {} & \log_{10}({\color{purple}10}\times{\color{blue}9}\times{\color{blue}8}\times{\color{Fgreen}7}\times{\color{blue}6}\times{\color{purple}5}\times{\color{orange}4}\times{\color{blue}3}\times{\color{purple}2}) = \\ = {} & \log_{10}({\color{purple}10^2}\times{\color{blue}6^4}\times{\color{green}7}\times{\color{orange}2^2}) = \\ = {} & {\color{purple}2} + 4\log_{10}({\color{blue}6}) + \log_{10}({\color{green}7}) + 2\log_{10}({\color{orange}2}). \end{aligned}$

La risposta corretta è dunque la

$\boxcolorato{superiori}{\text{3.}}$

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nei seguenti esercizi, calcolare ciascun logaritmo richiesto, riportando il risultato in forma semplificata.

$\quad$

$\log_{2}16,\quad \log_{3}9,\quad \log_{5}125,\quad \log_{7}49.$

$\log_{10}100,\quad \log_{10}1000,\quad \log_{11}121,\quad \log_{7}343.$

$\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{9}\sqrt{3}\right),\quad \log_{2}\tfrac{1}{16},\quad \log_{8}0.04,\quad \log_{745}1.$

$\log_{2}\!\left(\tfrac{4}{\sqrt2}\right),\quad \log_{3}\!\left(3\sqrt3\right),\quad \log_{2}\!\left(\tfrac{\sqrt4}{2}\right),\quad \log_{8}\!\left(6\sqrt6\right).$

$\log_{7}\!\left(7\sqrt7\right),\quad \log_{3}\tfrac{1}{\sqrt3},\quad \log_{2}\!\left(\sqrt2\cdot\sqrt2\right),\quad \log\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{10}}\right).$

$\log_{5}\sqrt[5]{5},\quad \log_{\frac12}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right),\quad \log_{3}\!\left(\tfrac{3\sqrt3}{\sqrt9}\right),\quad \log_{5}\!\left(0.2\,\tfrac{\sqrt5}{5}\right).$

$\log_{3}\!\left(27\sqrt3\right),\quad \log_{4}\tfrac12,\quad \log_{25}\!\left(\tfrac{5}{\sqrt5}\right),\quad \log_{8}\sqrt4.$ <

$\log_{625}\!\left(\tfrac{\sqrt5}{25}\right),\quad \log_{16}\!\left(\tfrac{2}{\sqrt2}\right),\quad \log\!\left(1000\cdot\sqrt[8]{10}\right),\quad \log_{49}\sqrt[7]{\tfrac17}.$

$\log_{4}2,\quad \log_{\frac19}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right),\quad \log_{100}\sqrt[10]{10},\quad \log\!\left(\tfrac{1}{10}\sqrt{10}\right).$

$\log_{\sqrt2}1,\quad \log_{\sqrt2}256,\quad \log_{2\sqrt2}2,\quad \log_{0.1}10.$

$\log_{6.25}0.064,\quad \log_{\frac43}\!\left(\tfrac{16}{9}\right),\quad \log_{9}\!\left(\tfrac{1}{729}\right),\quad \log_{\frac19}729.$

$\log_{\frac23}\!\left(\tfrac{8}{27}\right),\quad \log_{5}3125,\quad \log_{\frac12}\tfrac14,\quad \log_{\frac34}\!\left(\tfrac{16}{9}\right).$

$\log\tfrac12,\quad \log_{0.8}\!\left(\tfrac{25}{16}\right),\quad \log_{10}\tfrac{1}{\sqrt{10}},\quad \log_{0.1}1000.$

$\log_{a}a,\quad \log_{2a}(4a^{2}),\quad \log_{\sqrt{a}}a^{3},\quad \log_{a\sqrt{a}}\!\left(a\sqrt{a}\right).$

$\log_{2+\sqrt2}\!\left(6+4\sqrt2\right),\quad \log_{a+1}\frac{1}{a+1},\quad \log_{a^{2}}\frac{1}{a},\quad \log_{\frac{2}{a}}\frac{a^{3}}{8}.$

Svolgimento.

Di seguito sono riportate le proprietà dei logaritmi che verranno utilizzate nello svolgimento.

$\boxed{1}$ $\log_{b} b^{k}=k$ \quad $\bigl(b>0,\; b\neq1,\; k\in\mathbb{R}\bigr)$ .

$\boxed{2}$ $\displaystyle \log_{\,b^{m}}\!a^{\,n} =\frac{n}{m}\,\log_{b} a$ \quad $\bigl(a>0,\; b>0,\; b\neq1,\; m\neq0\bigr)$ .

$\boxed{3}$ $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}},\qquad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

$\bigl( p,q,n\in\mathbb{Z},\; q,n\neq0;\; a\ge0\ \text{se }q,n\text{ sono pari};\; a>0\ \text{in generale} \bigr)$ .

$\quad$

Si applica la proprietà $\boxed{1}$ alle potenze intere di $10,11,7$ .
$\begin{aligned} &\log_{10}100 = \log_{10}10^{2}=2,\\ &\log_{10}1000 = \log_{10}10^{3}=3,\\ &\log_{11}121 = \log_{11}11^{2}=2,\\ &\log_{7}343 = \log_{7}7^{3}=3. \end{aligned}$

Si utilizzano le proprietà $\boxed{3}$ e il cambio di base $\boxed{2}$
$\begin{aligned} &\log_{3}\!\Bigl(\tfrac1{9}\sqrt3\Bigr) =\log_{3}\bigl(3^{-2}\cdot3^{1/2}\bigr) =\log_{3}3^{-3/2} =-\tfrac32,\\[4pt] &\log_{2}\tfrac1{16} =\log_{2}2^{-4} =-4,\\[4pt] &\log_{8}0.04 =\frac{\log_{2}0.04}{\log_{2}8} =\frac{\log_{2}(5^{-2})}{3} = -\frac{2}{3} \log_2 5 \approx-1.548,\\[4pt] &\log_{745}1 = 0 \qquad(\text{qualunque base}). \end{aligned}$

Si impiega la proprietà $\boxed{3}$ sulle potenze razionali.
$\begin{aligned} &\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt2}\Bigr) =\log_{2}(2\sqrt2) =\log_{2}2^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{3}(3\sqrt3) =\log_{3}3^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt4}{2}\Bigr) =\log_{2}1 =0,\\[4pt] &\log_{8}(6\sqrt6) =\tfrac{\tfrac32\log_{2}6}{3} = \frac{1+\log_2 3}{2} \approx1.292. \end{aligned}$

Si adoperano ancora le potenze razionali $\boxed{3}$
$\begin{aligned} &\log_{7}(7\sqrt7) =\log_{7}7^{3/2} =\tfrac32,\\[4pt] &\log_{3}\tfrac1{\sqrt3} =\log_{3}3^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{2}(\sqrt2\!\cdot\!\sqrt2) =\log_{2}2 =1,\\[4pt] &\log_{10}\!\Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}}\Bigr) =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12. \end{aligned}$

Si applicano radici e basi frazionarie ( $\boxed{3}$ )
$\begin{aligned} &\log_{5}\sqrt[5]{5} =\log_{5}5^{1/5} =\tfrac15,\\[4pt] &\log_{\frac12}\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\log_{2^{-1}}2^{-1/2} =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{3}\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}{\sqrt9}\Bigr) =\log_{3}\sqrt3 = \log_3 3^{\frac{1}{2}} =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{5}\!\Bigl(0.2\cdot\tfrac{\sqrt5}{5}\Bigr) =\log_{5}5^{-3/2} =-\tfrac32. \end{aligned}$

v Si combinano le proprietà $\boxed{3}$ e il cambio di base $\boxed{2}$ .

$\begin{aligned} &\log_{3}(27\sqrt3) =\log_{3}3^{7/2} =\tfrac72,\\[4pt] &\log_{4}\tfrac12 =\log_{4}4^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{25}\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt5}\Bigr) =\log_{5^{2}}5^{1/2} =\tfrac14,\\[4pt] &\log_{8}\sqrt4 =\frac{\log_{2}2}{\log_{2}8} =\tfrac13. \end{aligned}$

Si applicano $\boxed{3}$ e $\boxed{2}$ a basi elevate.
$\begin{aligned} &\log_{625}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{25}\Bigr) =\log_{5^{4}}5^{-3/2} =-\tfrac38,\\[4pt] &\log_{16}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt2}\Bigr) =\log_{2^{4}}2^{1/2} =\tfrac18,\\[4pt] &\log_{10}\!\bigl(1000\sqrt[8]{10}\bigr) =\log_{10}10^{25/8} =\tfrac{25}{8},\\[4pt] &\log_{49}\sqrt[7]{\tfrac17} =\log_{7^{2}}7^{-1/7} =-\tfrac1{14}. \end{aligned}$

Si trattano potenze negative e frazioni.
$\begin{aligned} &\log_{4}2 =\log_{2^{2}}2 =\tfrac12,\\[4pt] &\log_{\frac19}\!\Bigl(\tfrac1{\sqrt3}\Bigr) =\log_{3^{-2}}3^{-1/2} =\tfrac14,\\[4pt] &\log_{100}\sqrt[10]{10} =\log_{10^{2}}10^{1/10} =\tfrac1{20},\\[4pt] &\log_{10}\!\Bigl(\tfrac1{10}\sqrt{10}\Bigr) =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12. \end{aligned}$

Si considerano basi irrazionali e decimali.
$\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}1 = 0,\\[4pt] &\log_{\sqrt2}256 =\log_{2^{1/2}}2^{8} =16,\\[4pt] &\log_{2\sqrt2}2 =\log_{2^{3/2}}2 =\tfrac23,\\[4pt] &\log_{0.1}10 =\log_{10^{-1}}10 =-1. \end{aligned}$

Si operano trasformazioni con basi e argomenti frazionari.
$\begin{aligned} &\log_{6.25}0.064 =\log_{(5/2)^{2}}(2/5)^{3} =-\frac{1}{2} \log_{2/5} (2/5)^{3} =-\tfrac32,\\[4pt] &\log_{\frac43}\!\Bigl(\tfrac{16}{9}\Bigr) =\log_{(4/3)}(4/3)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{9}\!\Bigl(\tfrac1{729}\Bigr) =\log_{3^{2}}3^{-6} =\frac{1}{2}\log_3 3^{-6} =-3,\\[4pt] &\log_{\frac19}729 =\log_{3^{-2}}3^{6} =-\frac{1}{2}\log_3 3^{6} =-3. \end{aligned}$

Si impiegano basi decimali e potenze frazionarie.
$\begin{aligned} &\log_{\frac23}\!\Bigl(\tfrac{8}{27}\Bigr) =\log_{(2/3)}(2/3)^{3} =3,\\[4pt] &\log_{5}3125 =\log_{5}5^{5} =5,\\[4pt] &\log_{\frac12}\tfrac14 =\log_{1/2}(1/2)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{\frac34}\!\Bigl(\tfrac{16}{9}\Bigr) =\log_{(3/4)}(3/4)^{-2} =-2. \end{aligned}$

Si evidenziano logaritmi negativi con decimali.
$\begin{aligned} &\log_{10}\tfrac12 =-\log_{10}2 \approx-0.3010,\\[4pt] &\log_{0.8}\!\Bigl(\tfrac{25}{16}\Bigr) =\log_{4/5}(5/4)^{2} =-\log_{5/4}(5/4)^{2} =-2,\\[4pt] &\log_{10}\tfrac1{\sqrt{10}} =\log_{10}10^{-1/2} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{0.1}1000 =\log_{10^{-1}}10^{3} = -\log_{10} 10^3 =-3. \end{aligned}$

Si utilizzano basi dipendenti dal parametro $a$ .
$\begin{aligned} &\log_{a}a = 1,\\[4pt] &\log_{2a}(4a^{2}) =\log_{2a}(2a)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{\sqrt{a}}a^{3} =\log_{a^{1/2}}a^{3} =2\log_a a^3 =6,\\[4pt] &\log_{a\sqrt{a}}(a\sqrt{a}) =1. \end{aligned}$

Si applicano logaritmi con parametri e numeri irrazionali.
$\begin{aligned} &\log_{2+\sqrt2}(6+4\sqrt2) =\log_{2+\sqrt2}(2+\sqrt2)^{2} =2,\\[4pt] &\log_{a+1}\tfrac1{a+1} =-1,\\[4pt] &\log_{a^{2}}\tfrac1{a} =\log_{a^{2}}a^{-1} =-\tfrac12,\\[4pt] &\log_{\frac{2}{a}}\!\Bigl(\tfrac{a^{3}}{8}\Bigr) = -\log_{\frac{a}{2}} \left (\frac{a}{2}\right )^3 =-3. \end{aligned}$

Esercizio 17 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Riscrivere ciascuna delle seguenti espressioni logaritmiche come somma o differenza di logaritmi, applicando le proprietà dei logaritmi e delle potenze. Si assuma che tutti gli argomenti siano positivi.

$\quad$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{3}{5a}\right)$

$\displaystyle \log_{\tfrac{2}{3}}\!\left(\frac{3\sqrt{a}}{b}\right)$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{5a}{b^{2}}\sqrt{b}\right)$

$\displaystyle \log_{\sqrt{2}}\!\left(\frac{\sqrt{4}}{8\sqrt{2}}\right)$

$\displaystyle \log_{5}\!\left(\frac{5}{61\,\sqrt{91}}\right)$

$\displaystyle \log\!\left(\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{3}}{17}\right)$

Svolgimento.

Riportiamo di seguito le proprietà dei logaritmi che utilizzeremo nello svolgimento dell’esercizio.

$\boxed{4}$ $\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y$ \quad(prodotto → somma); \hfill $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;y>0\bigr)$

$\boxed{5}$ $\displaystyle \log_{b}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =\log_{b}x-\log_{b}y$ \quad(quoziente → differenza); \hfill $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;y>0\bigr)$

$\boxed{6}$ $\log_{b}x^{k}=k\,\log_{b}x$ \quad(potenza → coefficiente); \hfill $\bigl(b>0,\;b\neq1,\;x>0,\;k\in\mathbb{R}\bigr)$

$\quad$

Punto 1. Vengono impiegate prima la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , quindi quella del prodotto $\boxed{4}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{3}{5a}\Bigr) =\log 3-\log(5a) =\log 3-\bigl(\log 5+\log a\bigr) =\log 3-\log 5-\log a. \end{aligned}$

Punto 2. Si applicano la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , la proprietà del prodotto $\boxed{4}$ e la potenza a esponente frazionario $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{\frac23}\!\Bigl(\tfrac{3\sqrt a}{\,b}\Bigr) =\log_{\frac23}3+\log_{\frac23}\sqrt a-\log_{\frac23}b =\log_{\frac23}3+\tfrac12\log_{\frac23}a-\log_{\frac23}b. \end{aligned}$

Punto 3. Vengono utilizzate la proprietà del prodotto $\boxed{4}$ e quella delle potenze $\boxed{6}$ ; il termine al denominatore introduce un ulteriore uso della proprietà del quoziente $\boxed{5}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{5a}{b^{2}}\sqrt b\Bigr) =\log(5a)+\log\sqrt b-\log b^{2} =\bigl(\log 5+\log a\bigr)+\tfrac12\log b-2\log b =\log 5+\log a-\tfrac32\log b. \end{aligned}$

Punto 4. Dopo alcune manipolazioni, si adopera la trasformazione di potenze $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt4}{8\sqrt2}\Bigr) =\log_{\sqrt2}\!\Bigl(\tfrac{2}{2^{7/2}}\Bigr) =\log_{\sqrt2}2^{-5/2} =2 \log_2 2^{-5/2} =-5. \end{aligned}$

Punto 5. Si ricorre alla proprietà del quoziente $\boxed{5}$ , seguita dal prodotto $\boxed{4}$ e dalla potenza $\boxed{6}$ :

$\begin{aligned} &\log_{5}\!\Bigl(\tfrac{5}{61\sqrt{91}}\Bigr) =\log_{5}5-\bigl(\log_{5}61+\log_{5}\sqrt{91}\bigr) =1-\log_{5}61-\tfrac12\log_{5}91. \end{aligned}$

Punto 6. Vengono applicate la potenza $\boxed{6}$ e la proprietà del quoziente $\boxed{5}$ :

$\begin{aligned} &\log\!\Bigl(\tfrac{(\sqrt2+1)^{3}}{17}\Bigr) =\log(\sqrt2+1)^{3}-\log 17 =3\log(\sqrt2+1)-\log 17. \end{aligned}$

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Riscrivere ciascuna delle seguenti espressioni come un unico logaritmo, utilizzando le proprietà dei logaritmi. Si assuma che tutti gli argomenti siano positivi.

$\quad$

$\displaystyle \log 3 + \log 7 - \log 6$

$\displaystyle \log_{2} x - \log_{2}(x-1) + \log_{2} 5$

$\displaystyle \log_{3}\!\left(x^{2}+1\right) - \log_{3}(x-3)$

$\displaystyle 4\,\log_{2} a + \log_{2} b$

$\displaystyle \tfrac{1}{4}\log a - \tfrac{1}{3}\log b$

$\displaystyle \log(x-1) + \log(x-2) - \log(x+3)$

Svolgimento.

Si applicano nuovamente le proprietà

$\boxed{4}\quad \log_{b}(xy) = \log_{b}x + \log_{b}y$

$\boxed{5}\quad \log_{b}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{b}x - \log_{b}y$

$\boxed{6}\quad \log_{b}x^{k} = k\log_{b}x$

$\quad$

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .
$\begin{aligned} &\log 3+\log 7-\log 6 =\log(3\cdot7)-\log 6 \quad(\boxed{4})\\ &\phantom{\log 3+\log 7-\log 6} =\log\!\Bigl(\tfrac{21}{6}\Bigr) =\log\!\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr). \quad(\boxed{5}) \end{aligned}$

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .
$\begin{aligned} &\log_{2}x-\log_{2}(x-1)+\log_{2}5 =\log_{2}(5x)-\log_{2}(x-1) \quad(\boxed{4})\\ &\phantom{\log_{2}x-\log_{2}(x-1)+\log_{2}5} =\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{5x}{x-1}\Bigr) \quad(\boxed{5}). \end{aligned}$

Si applicano nuovamente $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .
$\log_{3}(x^{2}+1)-\log_{3}(x-3) =\log_{3}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}+1}{\,x-3}\Bigr)\quad(\boxed{5}).$

Si applicano $\boxed{6}$ e $\boxed{4}$ .
$\begin{aligned} 4\log_{2}a+\log_{2}b &=\log_{2}a^{4}+\log_{2}b \quad(\boxed{6}) \\ & =\log_{2}(a^{4}b) \quad(\boxed{4}). \end{aligned}$

Si impiegano $\boxed{6}$ e $\boxed{5}$ .
$\begin{aligned} \tfrac14\log a-\tfrac13\log b &=\log a^{1/4}-\log b^{1/3} \quad(\boxed{6})\\ &=\log\!\Bigl(\tfrac{a^{1/4}}{b^{1/3}}\Bigr) \quad(\boxed{5})\\ &=\log\!\Bigl(\tfrac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[3]{b}}\Bigr). \end{aligned}$

Si applicano $\boxed{4}$ e $\boxed{5}$ .
$\begin{aligned} &\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x+3) =\log\!\bigl((x-1)(x-2)\bigr)-\log(x+3)\quad(\boxed{4})\\ &\phantom{\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x+3)} =\log\!\Bigl(\tfrac{(x-1)(x-2)}{x+3}\Bigr)\quad(\boxed{5}). \end{aligned}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il campo di esistenza (dominio) di ciascuna delle seguenti funzioni logaritmiche.

$\quad$

$y=\displaystyle\log\!\left(\frac{x^{2}-1}{\,x^{2}+4\,}\right)$

$y=\displaystyle\log_{2}\!\left(\frac{x^{3}}{x+2}\right)$

$y=\displaystyle\log\!\left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}\right)$

$y=\displaystyle\log(x+5)+\log(3-x)$

$y=\displaystyle\frac{5}{\,\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1\,}$

$y=\displaystyle\frac{\log\!\bigl(x-\sqrt{x^{2}-x}\bigr)}{\log(x-3)}$

$y=\displaystyle\log\!\bigl(4^{x}-2\bigr)+\log\!\bigl(2^{x}-1\bigr)$

$y=\displaystyle\frac{1}{\log_{2}\!\Bigl(\log_{3}(x-1)\Bigr)}$

$y=\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x-1}$

$y=\displaystyle\frac{\log(x+2)}{\log(x-3)}$

$y=\displaystyle\log_{3}(x-1)+\log_{\,\tfrac13}\!\bigl(x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)$

$y=\displaystyle\log\!\bigl(3^{x^{2}}-81\bigr)$

Svolgimento.

\begin{enumerate} Il dominio della funzione si ottiene imponendo

$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4}>0 .$

1. Studio del segno del denominatore $x^{2}+4>0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ ; dunque non influisce sul segno della frazione.

2. Studio del segno del numeratore

$x^{2}-1>0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}>1 \;\Longleftrightarrow\; x<-1\;\;\vee\;\;x>1.$

3. Tabella dei segni

$\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & +\infty \\ \hline x^{2}-1 & + & 0 & - & 0 & + & \\[-2pt] x^{2}+4 & + & + & + & + & + & \\ \hline \displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4} & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}$

4. Conclusione L’argomento del logaritmo è strettamente positivo solo negli intervalli aperti in cui la frazione è $+$ , scartando i punti in cui vale $0$ .

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-1)\,\cup\,(1,\infty).}$

$\quad$

Il dominio della funzione si ottiene imponendo
$\frac{x^{3}}{x+2}>0 .$

0. Premessa sul logaritmo La base è $2>0$ e diversa da $1$ ; pertanto non vi sono altre restrizioni oltre alla positività dell’argomento.

1. Studio del segno del denominatore $x+2=0$ per $x=-2$ .

$\begin{cases} x+2<0 &\text{se }x<-2,\\[2pt] x+2>0 &\text{se }x>-2. \end{cases}$

2. Studio del segno del numeratore $x^{3}=0$ per $x=0$ . Il segno di $x^{3}$ coincide con quello di $x$ :

$\begin{cases} x^{3}<0 &\text{se }x<0,\\[2pt] x^{3}>0 &\text{se }x>0. \end{cases}$

3. Tabella dei segni

$\begin{array}{c|ccc} x \in & (-\infty,2) & (-2,0) & (0,+\infty)\\ \hline x^{3} & - & - & + \\[-2pt] x+2 & - & + & + \\ \hline \displaystyle\frac{x^{3}}{x+2} & + & - & + \\ \end{array}$

4. Conclusione L’argomento del logaritmo è strettamente positivo negli intervalli

$(-\infty,-2)\quad\text{e}\quad(0,\infty),$

mentre nei punti $x=-2$ (denominatore nullo) e $x=0$ (argomento nullo) la funzione non è definita.

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-2)\,\cup\,(0,\infty).}$

Il dominio della funzione si ottiene imponendo
$\frac{x}{\sqrt{x-2}}>0 .$

1. Condizione sul radicando e sul denominatore Affinché la radice quadrata sia definita nei reali occorre $x-2\ge 0$ , ossia $x\ge 2$ . Poiché la radice compare al denominatore, bisogna inoltre richiedere $\sqrt{x-2}\ne 0$ , vale a dire escludere il punto $x=2$ . Ne consegue

$x>2.$

2. Positività dell’argomento del logaritmo Con $x>2$ il numeratore $x$ è positivo e il denominatore $\sqrt{x-2}$ è anch’esso positivo, perciò la frazione risulta strettamente positiva:

$\frac{x}{\sqrt{x-2}}>0 \qquad\text{per ogni }x>2.$

3. Conclusione Le uniche restrizioni provengono dunque dal radicando e dal denominatore. Il dominio finale è l’intervallo aperto

$\boxcolorato{superiori}{S=(2,\infty).}$

Il dominio della funzione si ottiene imponendo la positività di ciascun argomento di logaritmo:

$\log(x+5) + \log(3 - x) \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} x + 5 > 0 \\[4pt] 3 - x > 0 \end{cases}$

1. Studio del primo argomento $x+5>0 \ \Longleftrightarrow\ x>-5.$

2. Studio del secondo argomento $3-x>0 \ \Longleftrightarrow\ x<3.$

3. Intersezione delle condizioni Entrambe le disuguaglianze devono valere simultaneamente; si ottiene

$-5<x<3.$

4. Conclusione Il dominio della funzione, dato dall’intervallo aperto in cui entrambi gli argomenti di logaritmo risultano strettamente positive, è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-5,\,3).}$

Il dominio della funzione
$y=\frac{5}{\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1}$

si determina verificando due condizioni indipendenti: la positività dell’argomento del logaritmo e il non annullamento del denominatore.

1. Esistenza del logaritmo Occorre

$x^{2}+1>0\qquad\forall\,x\in\mathbb{R},$

condizione sempre soddisfatta perché la somma di un quadrato e di $1$ non può mai annullarsi né diventare negativa.

2. Non annullamento del denominatore Si richiede

$\log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-1\ne 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \log\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\ne 1.$

Assumendo, come d’uso, che $\log$ indichi il logaritmo naturale (base $e$ ), la disuguaglianza precedente equivale a

$x^{2}+1\ne e \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^{2}\ne e-1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\ne\pm\sqrt{\,e-1\,}.$

3. Conclusione Poiché la prima condizione non impone alcuna esclusione ulteriore, l’unica restrizione proviene dal punto 2. Pertanto il dominio risulta tutto l’asse reale ad eccezione delle due ascisse in cui il denominatore si annulla:

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\mathbb{R}\setminus\bigl\{-\sqrt{e-1},\;\sqrt{e-1}\bigr\}\,.}$

Osservazione. Se si adotta invece il logaritmo in base $10$ , la stessa procedura conduce alla condizione $x^{2}+1\ne 10$ , ossia $x\ne \pm 3$ .

Si voglia determinare il dominio della funzione
$y=\frac{\log\!\bigl(x-\sqrt{x^{2}-x}\bigr)}{\log\!\bigl(x-3\bigr)}.$

Il problema si affronta esaminando in sequenza le tre condizioni di definibilità:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && x^{2}-x\ge 0 \quad &&\bigl(\text{radicando}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-\sqrt{x^{2}-x}>0 \quad &&\bigl(\text{argomento di } \log \text{ al numeratore}\bigr),\\[2pt] &\text{(iii)}&& x-3>0,\;\; \log(x-3)\ne 0 \quad &&\bigl(\text{argomento di } \log \text { al denominatore e non-annullamento}\bigr). \end{aligned}}$

1.\ Radice quadrata $(\text{i})$ .\; La disequazione $x^{2}-x\ge 0$ si fattorizza in $x(x-1)\ge 0$ , da cui si ricava che i fattori devono avere segno concorde e quindi

$x\le 0\quad\text{oppure}\quad x\ge 1.$

2. Argomento del logaritmo al numeratore Per ogni $x> 1$ si ha

$x-\sqrt{x^{2}-x}=x\Bigl[1-\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}\Bigr]>0,$

poiché l’espressione tra parentesi quadre è strettamente compresa tra $0$ e $1$ , in quanto il termine $0<\frac{1}{x}< 1$ e quindi $0<\sqrt{1-\frac{1}{x}}<1$ . Pertanto, nell’intervallo $x> 1$ la condizione (ii) risulta automaticamente soddisfatta. Per $x=1$ l’argomento del logaritmo si annulla e quindi tale valore va escluso. (Nell’intervallo $x\le 0$ essa invece fallisce, ma quell’intervallo verrà comunque escluso dalla condizione successiva.)

3. Argomento e non-annullamento del logaritmo al denominatore Richiediamo

$x-3>0 \;\Longrightarrow\; x>3, \qquad \text{e contemporaneamente}\qquad \log(x-3)\ne 0 \;\Longrightarrow\; x-3\ne 1 \;\Longrightarrow\; x\ne 4.$

4. Intersezione delle condizioni L’unione delle prime due condizioni dà $x> 1$ ; intersecando con $x>3$ si ottiene $x>3$ . Infine si elimina il valore $x=4$ per evitare l’annullamento del denominatore.

$\boxcolorato{superiori}{S=(3,4)\,\cup\,(4,\infty).}$

Conclusione La funzione è definita in tutti i reali maggiori di $3$ , tranne nel punto $x=4$ dove il denominatore si annulla.

Il dominio della funzione
$y=\log\!\bigl(4^{x}-2\bigr)+\log\!\bigl(2^{x}-1\bigr)$

si ottiene imponendo che entrambi gli argomenti di logaritmo siano strettamente positivi:

$\begin{cases} 4^{x}-2>0,\\[4pt] 2^{x}-1>0. \end{cases}$

1. Prima disuguaglianza

$4^{x}-2>0 \;\Longleftrightarrow\; 4^{x}>2 \;\Longleftrightarrow\; 4^{x}>4^{1/2} \;\Longleftrightarrow\; x>\tfrac12.$

2. Seconda disuguaglianza

$2^{x}-1>0 \;\Longleftrightarrow\; 2^{x}>1 \;\Longleftrightarrow\; x>0.$

3. Intersezione delle condizioni Affinché entrambe le disuguaglianze siano soddisfatte, è necessario è sufficiente che

$x>\tfrac12 \quad\text{(poiché }\tfrac12>0\text{)}.$

4. Conclusione Il dominio della funzione è quindi l’intervallo aperto

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac12,\infty\bigr).}$

Osservazione. La scelta di $\log$ come logaritmo naturale (base $e$ ) o in base $10$ non modifica il risultato, giacché la condizione di positività degli argomenti è indipendente dalla base (purché quest’ultima sia $>0$ e diversa da $1$ ).

Il dominio della funzione
$y=\frac{1}{\log_{2}\!\bigl(\,\log_{3}(x-1)\bigr)}$

si determina verificando in cascata le tre condizioni di definibilità richieste dai due logaritmi concatenati e dal denominatore non nullo.

1. Esistenza del logaritmo interno

$x-1>0 \;\Longrightarrow\; x>1.$

2.\ Positività dell’argomento del logaritmo esterno Occorre che

$\log_{3}(x-1)>0 \;\Longleftrightarrow\; x-1>1 \;\Longleftrightarrow\; x>2.$

(In effetti, l’uguaglianza $\log_{3}(x-1)=0$ varrebbe solo in $x=2$ , che però è già escluso perché richiediamo stretta positività.)

3. Non annullamento del denominatore Bisogna evitare che

$\log_{2}\!\bigl(\,\log_{3}(x-1)\bigr)=0 \;\Longleftrightarrow\; \log_{3}(x-1)=1 \;\Longleftrightarrow\; x-1=3 \;\Longleftrightarrow\; x=4.$

4. Intersezione delle condizioni La condizione (2) restringe l’insieme a $x>2$ ; la condizione (3) impone di escludere il punto $x=4$ . Pertanto il dominio finale è l’intervallo dei reali maggiori di $2$ con l’unica lacuna in $x=4$ :

$\boxcolorato{superiori}{\,S=(2,\,4)\,\cup\,(4,\,\infty).\,}$

Il dominio della funzione
$y=\frac{\log(1+x)}{\,x-1\,}$

si ricava imponendo in modo congiunto:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && 1+x>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-1\ne 0 \quad &&\bigl(\text{denominatore non nullo}\bigr). \end{aligned}}$

1. Condizione sul logaritmo

$1+x>0 \;\Longleftrightarrow\; x>-1.$

2. Condizione sul denominatore

$x\ne 1.$

3. Intersezione delle condizioni L’insieme $x>-1$ esclude già tutti i valori inferiori a $-1$ ; dalla condizione (ii) si elimina inoltre il punto $x=1$ . Ne risulta

$x>-1,\;x\ne 1 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-1,1)\;\cup\;(1,\infty).$

4. Conclusione Il dominio della funzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{S=(-1,\,1)\,\cup\,(1,\,\infty)\,.}$

Nota. La scelta della base del logaritmo (naturale, in base $10$ o altra base positiva diversa da $1$ ) non incide sul risultato, poiché la condizione di positività dell’argomento rimane invariata.

Il dominio della funzione
$y=\frac{\log(x+2)}{\log(x-3)}$

si determina imponendo congiuntamente:

$\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i)} && x+2>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo al numeratore}\bigr),\\[2pt] &\text{(ii)}&& x-3>0 \quad &&\bigl(\text{argomento del logaritmo al denominatore}\bigr),\\[2pt] &\text{(iii)}&& \log(x-3)\ne 0 \quad &&\bigl(\text{denominatore non nullo}\bigr). \end{aligned}}$

1. Condizione (i)

$x+2>0 \;\Longleftrightarrow\; x>-2.$

2. Condizione (ii)

$x-3>0 \;\Longleftrightarrow\; x>3.$

3. Condizione (iii)

$\log(x-3)\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; x-3\ne 1 \;\Longleftrightarrow\; x\ne 4.$

4. Intersezione delle condizioni L’intervallo proveniente dalle prime due condizioni è $x>3$ ; dal punto (iii) si elimina il valore $x=4$ . Si ottiene perciò

$x\in(3,4)\;\cup\;(4,\infty).$

5.\ Dominio finale

$\boxcolorato{superiori}{S=(3,\,4)\,\cup\,(4,\,\infty)\,.}$

Il dominio della funzione

$y=\log_{3}(x-1)+\log_{\tfrac13}\!\bigl(x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)$

si ottiene imponendo congiuntamente la stretta positività di ciascun argomento di logaritmo (le basi $3>1$ e $\tfrac13\in(0,1)$ sono ammissibili, quindi non impongono altri vincoli):

$\boxed{\; \begin{cases} x-1>0,\\[6pt] x^{3}-6x^{2}+8x>0. \end{cases}}$

1. Primo argomento

$x-1>0 \;\Longleftrightarrow\; x>1.$

2. Secondo argomento Scomponiamo il polinomio:

$x^{3}-6x^{2}+8x =x\!\bigl(x^{2}-6x+8\bigr) =x(x-2)(x-4).$

Gli zeri sono $x=0,\,2,\,4$ . Costruiamo la tabella dei segni:

$\begin{array}{c|cccc} x \in & (-\infty,0) & (0,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline x & - & + & + & + \\[-2pt] x-2 & - & - & + & +\\[-2pt] x-4 & - & - & - & + \\ \hline x(x-2)(x-4) & - & + & - & + \end{array}$

Il prodotto è positivo per

$x\in(0,2)\;\cup\;(4,\infty).$

3. Intersezione dei vincoli

$(0,2)\cap(1,\infty)=(1,2),\qquad (4,\infty)\cap(1,\infty)=(4,\infty).$

4. Dominio finale

$\boxcolorato{superiori}{S=(1,\,2)\,\cup\,(4,\,\infty).\,}$

Il dominio della funzione

$y=\log\!\bigl(3^{x^{2}}-81\bigr)$

si ottiene imponendo che l’argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

$3^{x^{2}}-81>0.$

1. Riduzione dell’inequazione

$3^{x^{2}}-81>0 \;\Longleftrightarrow\; 3^{x^{2}}>81 \;\Longleftrightarrow\; 3^{x^{2}}>3^{4},$

poiché $81=3^{4}$ .

2. Confronto di potenze a stessa base La funzione $3^{t}$ è strettamente crescente per $t\in\mathbb{R}$ ; da ciò segue immediatamente

$x^{2}>4.$

3. Soluzione dell’inequazione quadratica

$x^{2}>4 \;\Longleftrightarrow\; x<-2\;\;\vee\;\;x>2.$

4. Dominio conclusivo

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,-2)\,\cup\,(2,\infty).}$