Definizione di Logaritmo – Esercizio 2

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Ricavare il valore della x applicando la definizione di logaritmo:

    \[\begin{aligned} 				& \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x\\ 				& \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x\\				 				& \text{c) } \log_x 1000 = 3\\ 				& \text{d) } \log_2 x = -3\\ 				& \text{e) } \log_{10} x = 0 			\end{aligned}\]

 

Soluzione

La definizione di logaritmo con a,b \in \mathbb{R}^+, a \neq 1 e c \in \mathbb{R} è:

(1)   \begin{equation*} 	\log_a b = c \; \Leftrightarrow \; a^c = b \end{equation*}

Utilizziamo la definizione

    \[\begin{aligned} 	& \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x \; \Leftrightarrow \;  5^x = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \; \Leftrightarrow \;  5^x = 5^{-1/2} \; \Leftrightarrow \; x=-\dfrac{1}{2}\\\\ 	& \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x \; \Leftrightarrow \; 3^x = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = \dfrac{3 \cdot 3^{1/2}}{3^{1/4}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = 3^{1+1/2-1/4} \; \Leftrightarrow \; x = 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \; \Leftrightarrow \; x = \dfrac{5}{4} \\\\				 	& \text{c) } \log_x 1000 = 3 \; \Leftrightarrow \;  x^3 = 1000 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 10^3 \; \Leftrightarrow \; x=10\\\\ 	& \text{d) } \log_2 x = -3 \; \Leftrightarrow \; x=2^{-3} \; \Leftrightarrow \; x=\dfrac{1}{8}\\\\ 	& \text{e) } \log_{10} x = 0 \; \Leftrightarrow \; x=10^0 \; \Leftrightarrow \; x=1 \end{aligned}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 3 -Petrini