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Sistemi di equazioni goniometriche: esercizi svolti

Sistemi di equazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di equazioni goniometriche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il sistema nel campo dei numeri reali:

\[\begin{cases} \tan x - \tan y = \sqrt{3} + 1\\ \tan x + \tan y = \sqrt{3} - 1. \end{cases}\]

Svolgimento.

Sommando le equazioni otteniamo

\[ 2\tan x= 2\sqrt{3} \iff \tan x = \sqrt{3} \iff x= \frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Sostituendo \tan x = \sqrt{3} in una delle due equazioni del sistema iniziale si ottiene

\[ \tan y=-1 \iff y= -\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k \in \mathbb{Z}. \]

La soluzione è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{ \left(x,y\right) = \left(\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\; -\dfrac{\pi}{4}+n\pi\right), \; k,n\in\mathbb{Z}. \;} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere il sistema nel campo dei numeri reali:

\[\begin{cases} x + y = \pi\\ 2\sin x + 2\cos y = \sqrt{3} + 1. \end{cases}\]

Svolgimento.

Da y=\pi-x, sostituendo nella seconda equazione e usando le formule degli archi associati, si ottiene

\[ 2\sin x -2\cos x= \sqrt{3}+1. \]

Dividendo per 2\sqrt{2} e ricordando \cos \left (-\frac{\pi}{4}\right )=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\left (-\frac{\pi}{4}\right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}, dalla formula di addizione del seno abbiamo

\[ \sin \left (x- \frac{\pi}{4}\right ) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}, \]

ossia

\[ x- \frac{\pi}{4} = \arcsin \left (\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right )+2k\pi \,\,\vee \,\, x- \frac{\pi}{4} = \pi-\arcsin \left (\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right ) +2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Ponendo \alpha\coloneqq \arcsin \left (\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right ) e ricordando y=\pi-x, otteniamo cioè le soluzioni

\[\boxcolorato{superiori}{ \begin{aligned} (x,y) \in \Biggl\{ &\left (\frac{\pi}{4} +\alpha +2k\pi,\frac{3\pi}{4}- \alpha -2k\pi \right ), \\ &\left (\frac{3\pi}{4}-\alpha+2k\pi,\frac{\pi}{4}+\alpha -2k\pi \right ),\; k \in \mathbb{Z} \Biggr\}. \end{aligned} } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il sistema nel campo dei numeri reali:

\[\begin{cases} 8\sin x - 6\sin y = 1\\ \sin x + \sin y = 1. \end{cases}\]

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