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Sistemi di disequazioni goniometriche: esercizi svolti

Sistemi di disequazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di disequazioni goniometriche.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere nel campo dei numeri reali il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} \sin x > \dfrac{1}{2} \\[5pt] \cos x \le 0. \end{cases} \]

Svolgimento.

Si ha

\[ \sin x > \frac12 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z \]

e

\[ \cos x \le 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\pi}{2}+2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Le due condizioni sono entrambe soddisfatte se e solo se

\[\boxcolorato{superiori}{\frac{\pi}{2}+2k\pi \leq x < \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere nel campo dei numeri reali il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} 2\cos x - \sqrt{2} \le 0 \\[5pt] 1 - 2\sin x \ge 0. \end{cases} \]

Svolgimento.

La prima disequazione equivale a

\[ \cos x\le\frac{\sqrt2}{2}. \iff \frac{\pi}{4}+2k\pi \;\le\;x\;\le\;\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]

La seconda disequazione è

\[ \sin x\le\frac12 \iff 2k\pi\le x\le\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad \frac{5\pi}{6}+2k\pi\le x\le2\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Le due condizioni sono soddisfatte se e solo se

\[\boxcolorato{superiori}{\; \frac{5\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\;} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere nel campo dei numeri reali il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} \tan x < -\sqrt{3} \\[5pt] \tan x > \dfrac{1}{\sqrt{3}}. \end{cases} \]

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