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Relazione fondamentale della goniometria: esercizi svolti

Funzioni goniometriche: proprietà di base

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulla relazione fondamentale della goniometria \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Verifica la seguente identità:

\[\left(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\right)^2-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).\]

Svolgimento.

Per prima cosa calcoliamo il quadrato presente nel membro a sinistra sviluppando il quadrato di binomio:

\[(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))^2=\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha).\]

L’identità diventa

\[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).\]

Sottraendo il termine 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) da entrambi i membri, sfruttando la proprietà invariantiva delle equazioni, si ottiene

\[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)-1=0\]

e, sfruttando l’identità fondamentale della trigonometria, otteniamo

\[\begin{aligned} \underbrace{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}_{=1}-1=0 \iff 1-1=0, \end{aligned}\]

da cui la tesi.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Verifica la seguente identità:

\[\sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)=1-2\cot^2(\alpha)\cdot\sin^4(\alpha) \qquad \forall \alpha \neq k\pi,\,\,\text{con } k \in \mathbb{Z}.\]

Svolgimento.

Con l’esclusione dei punti indicati nella traccia, non appartenenti al dominio della cotangente, dalla regola fondamentale della goniometria si ottiene

\[ \begin{aligned} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 & \iff (\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))^2=1^2\\ & \iff \sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)+2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=1\\ & \iff \sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha), \end{aligned} \]

da cui

\[1-2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=1-2\cot^2(\alpha)\cdot\sin^4(\alpha)\]

e, ricordando che

\[\cot^2(\alpha)=\left(\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)^2=\dfrac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)},\]

si ha

\[2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=2\left(\dfrac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right)\cdot\sin^4(\alpha).\]

Semplificando il termine \sin^2(\alpha) nel membro di destra si ottiene la tesi.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Dato il valore di una funzione trigonometrica di un angolo \alpha, determinare il valore delle altre sapendo che il secondo lato di \alpha cade nel quadrante indicato:

(1) \begin{equation*} \begin{split} \sin\alpha = \frac{1}{3}, \qquad \text{I quadrante};\\ \cos\alpha = -\frac{1}{5}, \qquad \text{III quadrante};\\ \tan\alpha = -\sqrt{3}, \qquad \text{II quadrante}. \end{split} \end{equation*}

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