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Grafici di funzioni goniometriche: esercizi svolti

Funzioni goniometriche: proprietà di base

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui grafici di funzioni goniometriche, ottenuti mediante l’applicazione di formule goniometriche varie e l’utilizzo di trasformazioni elementari sui grafici, per la cui teoria rimandiamo a [1, Teoria sulle funzioni].

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si scriva ciascuna delle seguenti funzioni in forma semplificata usando le identità trigonometriche opportune e se ne rappresenti il grafico nel piano cartesiano:

\[\quad\]

  1. y = \dfrac{-\sin 2x}{\cos x};

    2.  

  2. y = \dfrac{\cos^2 x \cdot \sin x - \sin^3 x}{-\sin x};

    3.  

  3. y = \sin^2 \dfrac{x}{2} + \cos x;

    4.  

  4. y = \dfrac{\sin 2x - \cos x}{2 \cos x}.

Svolgimento punto 1.

Usando la formula di duplicazione del seno si ha

\[ y=\frac{-2\sin x \cos x}{\cos x} = -2\sin x \]

per gli x \in \mathbb{R} tali che \cos x \neq 0, ovvero

\[ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\,\,\, \text{con }k \in \mathbb{Z}. \]

Dunque il grafico di y coincide, ad esclusione di questi punti, con quello della funzione \sin x, dilatato di un fattore 2 in verticale e riflesso rispetto all’asse x (a causa del segno meno), che rappresentiamo di seguito.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 1.

 


Svolgimento punto 2.

Raccogliendo il fattore \sin x al numeratore, semplificando e ricordando la formula di duplicazione del coseno abbiamo

\[ y \;=\; \frac{\cos^2x\,\sin x-\sin^3x}{-\sin x} \;=\; -(\cos^2x-\sin^2x) \;=\; -\cos 2x, \]

valida per gli x \in \mathbb{R} che non annullano il denominatore, ovvero

\[ x \neq k\pi,\,\,\,\text{con }k \in \mathbb{Z}. \]

Il grafico di y coincide quindi con quello della funzione coseno, riscalato in orizzontale di un fattore \frac{1}{2}, e riflesso rispetto all’asse x, qui rappresentato:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 2.

 


Svolgimento punto 3.

Applicando la formula di bisezione del coseno, abbiamo

\[ y= \frac{1-\cos x}{2}+ \cos x = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos x, \]

valida per ogni x \in \mathbb{R}. Il grafico di y coincide quindi con quello della funzione coseno, di ampiezza verticale dimezzata e traslato verso l’alto di \frac{1}{2}:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 4.

 


Svolgimento punto 4.

Applicando prima la formula di duplicazione del seno e poi raccogliendo e semplificando il fattore \cos x si ottiene

\[ y \;=\; \frac{\sin 2x - \cos x}{2\cos x} =\frac{2\sin x\cos x-\cos x}{2\cos x} =\frac{2\sin x-1}{2} =\sin x-\frac12, \]

per gli x \in \mathbb{R} che non annullano il denominatore, ossia

\[ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\,\,\,\text{con }k \in \mathbb{Z}. \]

Ad esclusione di questi punti, dunque, il grafico di y coincide con quello della funzione seno, traslato verso il basso di \frac{1}{2}.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 5.

 


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si scriva ciascuna delle seguenti funzioni in forma semplificata usando le identità trigonometriche opportune e se ne rappresenti il grafico nel piano cartesiano:

\[\quad\]

  1. y = \sin\left( \frac{3}{2}x \right) \cos\left( \frac{3}{2}x \right) - 1;

    2.  

  2. y = (1 + \tan x)\tan\left(x - \frac{\pi}{4} \right);

    3.  

  3. y = \dfrac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}:

    4.  

  4. y = \cos 2x - \cos^2 x.

Svolgimento punto 1.

Dalla formula di duplicazione del seno abbiamo

\[ y \;=\; \sin\!\left(\frac32 x\right)\cos\!\left(\frac32 x\right)-1 \;=\;\frac12\sin(3x)-1, \qquad x\in\mathbb R. \]

Il suo grafico è quindi quello della funzione seno, riscalato in orizzontale di un fattore \frac{1}{3}, in verticale di un fattore \frac{1}{2} e traslato verso il basso di 1:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 5.

 


Svolgimento punto 2.

Applicando la definizione di tangente e le formule di sottrazione di seno e coseno, abbiamo

\[ \begin{aligned} y &= \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin \left (x-\frac{\pi}{4}\right )}{\cos \left (x-\frac{\pi}{4}\right )} \\ &= \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x \cos \left ( \frac{\pi}{4}\right ) - \sin \left ( \frac{\pi}{4}\right ) \cos x}{\cos x \cos \left ( \frac{\pi}{4}\right ) + \sin x \sin \left ( \frac{\pi}{4}\right )} \\ &= \tan x - 1, \end{aligned} \]

per gli x \in \mathbb{R} che rendono ben definite le tangenti, ovvero

\[ x\neq\frac\pi2+k\pi,\quad x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi, \quad \text{con } k \in \mathbb{Z}. \]

Il grafico si ottiene quindi traslando verso il basso di una unità il grafico della funzione tangente, escludendo i punti indicati sopra:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 6.

 


Svolgimento punto 3.

Dalla formula di duplicazione del coseno si ha

\[ \begin{aligned} y &=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x} \\ &=\frac{\cos^2 x - \sin^2x}{\cos x - \sin x} \\ &=\cos x-\sin x \\ &= \sqrt{2} \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right ) \\ &= \sqrt{2} \left ( \cos \left ( \frac{\pi}{4}\right )\cos x - \sin \left ( \frac{\pi}{4}\right ) \sin x \right ) \\ &= \sqrt{2} \cos \left (x+ \frac{\pi}{4}\right ), \end{aligned} \]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la formula di addizione del coseno. Vanno però esclusi i punti che annullano il denominatore della frazione iniziale, ovvero

\[ \cos x \neq -\sin x \iff x \neq -\frac{\pi}{4}+k\pi,\,\,\,\text{con } k \in \mathbb{Z}. \]

Il grafico coincide quindi con quello della funzione coseno, traslato verso sinistra di \frac{\pi}{4} e dilatato in verticale di un fattore \sqrt{2}, ad esclusione dei punti individuati sopra:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 7.

 


Svolgimento punto 4.

Applicando la formula di bisezione del coseno \cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2} si ottiene

\[ y=\cos 2x-\cos^2x = \frac{\cos 2x}{2} - \frac{1}{2} \qquad \forall x\in\mathbb R. \]

Il grafico di y è quindi quello della funzione coseno, riscalato in orizzontale e in verticale di un fattore \frac{1}{2} e traslato verso il basso di \frac{1}{2}:

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 8.

 


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si scriva ciascuna delle seguenti funzioni in forma semplificata usando le identità trigonometriche opportune e se ne rappresenti il grafico nel piano cartesiano:

\[\quad\]

  1. y = \cos x + \cos^2 \dfrac{x}{2};

    2.  

  2. y = -\sin^4 \dfrac{x}{2} + \sin^2 \dfrac{x}{2};

    3.  

  3. y = \left| \sin x \cos x - \dfrac{1}{2} \right|;

    4.  

  4. y = \left| \dfrac{\sin 4x - \sin 2x}{\cos 3x} \right|.

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