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Dominio di funzioni goniometriche: esercizi svolti

Funzioni goniometriche: proprietà di base

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Sommario

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Raccolta di esercizi sul dominio o insieme di esistenza di funzioni goniometriche. Si rimanda all’articolo Funzioni goniometriche: la guida essenziale per una breve ma esaustiva guida sull’argomento.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il dominio della seguente funzione:

\[y = \frac{1}{\sin 4x}.\]

Svolgimento.

La funzione è definita se e solo se il denominatore \sin 4x non è nullo, ovvero

\[ \sin 4x \neq 0 \iff 4x \neq k\pi \iff x \neq \frac{k\pi}{4},\qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Il dominio della funzione è quindi

\[ \boxcolorato{superiori}{ D =\mathbb R \setminus \left\{\frac{k\pi}{4}\;\Bigm|\;k\in\mathbb Z\right\}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il dominio della seguente funzione:

\[y = \frac{\cos(3x - \pi)}{\cos^2 x - \sin^2 x}.\]

Svolgimento.

La funzione è definita se e solo se il denominatore non si annulla, ovvero se e solo se

\[ \cos^2 x \neq \sin^2 x \iff \cos x \neq \pm \sin x \iff x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Se ne deduce che il dominio è

\[\boxcolorato{superiori}{ D \;=\; \mathbb R \setminus \left\{\, \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \;\Bigm|\; k\in\mathbb Z \right\}.} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il dominio della seguente funzione:

\[y = \sqrt{\tan x}.\]

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