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Formule parametriche: esercizi svolti

Formule parametriche, di prostaferesi e Werner

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule parametriche in goniometria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 

Richiami di teoria

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Le formule parametriche esprimono \sin \alpha e \cos \alpha in funzione di t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ) mediante delle frazioni algebriche piuttosto semplici. Per tale ragione, le formule parametriche sono largamente utilizzate in problemi in cui occorre calcolare espressioni algebriche di funzioni goniometriche.

Poniamo \alpha=2x. L’idea per ottenerle è partire dalle formule di duplicazione del seno e del coseno e manipolarle per ottenerle in funzione della sola tangente dell’angolo. Ad esempio, dalla formula di duplicazione del seno

\[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \frac{2 \tan x}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} = \frac{2 \tan x}{\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}, \]

dove nella seconda uguaglianza abbiamo diviso e moltiplicato per \cos x, nella terza abbiamo scritto la moltiplicazione per \cos^2 x come la divisione per \frac{1}{\cos^2 x} e nella quarta abbiamo usato l’identità fondamentale della goniometria. Ricordando 2x=\alpha e ponendo t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ) otteniamo

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{\sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2}. } \end{equation*}

Similmente, dalla formula di duplicazione del coseno abbiamo

\[ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x \left (1- \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right ) = \frac{1- \tan^2 x}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} = \frac{1-\tan^2 x}{1+ \tan^2 x}, \]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo trasformato \frac{1}{\cos^2 x} al denominatore come fatto per il caso del seno. Di nuovo ricordando 2x=\alpha e ponendo t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ) otteniamo

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{\cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}. } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule parametriche scrivere la seguente espressione in funzione del parametro t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ):

\[\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha + 1}{\sin\alpha}.\]

Svolgimento.

Ponendo t=\tan \left ( \frac{\alpha}{2}\right ) e usando le formule parametriche (1) e (2), abbiamo:

\[ \begin{aligned} \dfrac{2\sin\alpha + \cos\alpha + 1}{\sin\alpha} &= \dfrac{2\cdot\dfrac{2t}{1+t^{2}} \;+\; \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \;+\; 1}{\dfrac{2t}{1+t^{2}}} \\[6pt] &= \dfrac{4t + 1 - t^{2} + 1 + t^{2}}{2t} \\[6pt] &= \dfrac{4t + 2}{2t} \\[6pt] &= \dfrac{2t + 1}{t}. \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule parametriche scrivere la seguente espressione in funzione del parametro t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ):

\[\dfrac{\cos\alpha}{2\sin\alpha + 4\cos\alpha}\;-\;\dfrac12\cot\alpha.\]

Svolgimento.

Ponendo t=\tan \left ( \frac{\alpha}{2}\right ) e usando le formule parametriche (1) e (2), abbiamo:

\[ \begin{aligned} \dfrac{\cos\alpha}{2\sin\alpha + 4\cos\alpha}\;-\;\dfrac12\cot\alpha &=\dfrac{\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}{ 2\,\dfrac{2t}{1+t^{2}} \;+\; 4\,\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} } \;-\; \dfrac12\, \dfrac{\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\dfrac{2t}{1+t^{2}}} \\[10pt] &=\dfrac{\,1-t^{2}\,}{4\!\left(t+1-t^{2}\right)} \;-\; \dfrac{\,1-t^{2}\,}{4t} \\[10pt] &=\dfrac{1-t^{2}}{4}\, \Biggl( \dfrac{1}{t+1-t^{2}} -\dfrac{1}{t} \Biggr) \\[10pt] &=\dfrac{t^{2}-1}{4}\, \dfrac{t^{2}-1}{\,t\!\left(t^{2}-t-1\right)} \\[10pt] &=\dfrac{(t^{2}-1)^{2}}{4t\bigl(t^{2}-t-1\bigr)}. \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule parametriche scrivere la seguente espressione in funzione del parametro t=\tan \left (\frac{\alpha}{2}\right ):

\[\dfrac{\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}+1}{\,4-\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}\;-\;\dfrac12.\]

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