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Formule di prostaferesi: esercizi svolti

Formule parametriche, di prostaferesi e Werner

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule di prostaferesi in goniometria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Richiami di teoria

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Le formule di prostaferesi, anche dette di somma-prodotto, sono utili per trasformare somme di funzioni goniometriche in prodotti. Esse possono essere ottenute, mediante un piccolo artificio, a partire dalle formule di addizione. Ad esempio, supponendo di voler scrivere la somma \sin \alpha + \sin \beta come prodotto di funzioni goniometriche, possiamo osservare che

\[ \alpha = \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha- \beta}{2} \qquad \beta = \frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha- \beta}{2} \]

e quindi applicare la formula di addizione del seno:

\[ \begin{aligned} \sin \alpha + \sin \beta &= \sin \left ( \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2} \right ) + \sin\left ( \frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2} \right ) \\ &= \sin \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \cos \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ) + \sin \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right )\cos \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) + \\ &\quad + \sin \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \cos \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ) - \sin \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right )\cos \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ). \end{aligned} \]

Semplificando si ottiene

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \cos \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ). } \end{equation*}

In maniera analoga si giunge a tutte le altre formule di prostaferesi:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \sin \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ); } \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \cos \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ); } \end{equation*}

(4) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left ( \frac{\alpha+\beta}{2}\right ) \sin \left ( \frac{\alpha-\beta}{2}\right ). } \end{equation*}

Moltiplicando membro a membro (1) e (2) e ricordando la formula di duplicazione del seno, si ottiene l’utile identità

(5) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta). } \end{equation*}

Allo stesso modo, moltiplicando i membri di (39 e (4) (oppure semplicemente applicando l’identità fondamentale della goniometria a (5)), si ha

(6) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta = -\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta). } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Utilizzando le formule di prostaferesi, riscrivere la seguente somma di funzioni goniometriche in forma di prodotto:

\[\sin 15^\circ+\sin 75^\circ.\]

Svolgimento.

Applicando (1) si ha

\[ \sin 15^\circ + \sin 75^\circ = 2 \sin \left ( \frac{15^\circ + 75^\circ}{2} \right ) \cos \left ( \frac{15^\circ - 75^\circ}{2} \right ) = 2 \sin 45^\circ \cos (-30^\circ) = 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Con le opportune semplificazioni si ottiene

\[ \boxcolorato{superiori}{ \sin 15^\circ + \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Utilizzando le formule di prostaferesi, riscrivere la seguente somma di funzioni goniometriche in forma di prodotto:

\[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) + \cos\left(\frac{17\pi}{12}\right) \]

Svolgimento.

Mediante la formula (3) si ha

\[ \begin{aligned} \cos \left (\frac{13\pi}{12}\right )+ \cos \left (\frac{17\pi}{12} \right ) & = 2 \cos \left ( \frac{\frac{13\pi}{12} + \frac{17\pi}{12}}{2} \right )\cos \left ( \frac{\frac{13\pi}{12} - \frac{17\pi}{12}}{2} \right ) \\ & = 2\cos \left ( \frac{5}{4}\pi\right ) \cos \left (-\frac{\pi}{6}\right ) = \\ &= 2 \cdot \left (- \frac{\sqrt{2}}{2}\right ) \cdot \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\right ). \end{aligned} \]

Semplificando otteniamo

\[ \boxcolorato{superiori}{ \cos \left (\frac{13\pi}{12}\right )+ \cos \left (\frac{17\pi}{12} \right ) = -\frac{\sqrt{6}}{2}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Utilizzando le formule di prostaferesi, riscrivere la seguente somma di funzioni goniometriche in forma di prodotto:

\[ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right). \]

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