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Formule di duplicazione: esercizi svolti

Formule di duplicazione e bisezione

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule di duplicazione.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione applicando le regole di duplicazione:

\[\cos 2\alpha \;+\;\sin 2\alpha\,\tan\alpha.\]

Svolgimento.

Ricordiamo

\[ \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha, \qquad \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\;( \cos\alpha\neq0). \]

Abbiamo dunque

\[ \begin{aligned} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha\,\tan\alpha &=\bigl(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\bigr) +\bigl(2\sin\alpha\cos\alpha\bigr)\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\[4pt] &=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha +2\sin^{2}\alpha \\[4pt] &=\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha \\[4pt] &=1. \end{aligned} \]

Tale risultato è valido per ogni \alpha con \cos\alpha\neq0 (cioè tale che \tan\alpha sia definito), ovvero ogni \alpha \neq \frac{\pi}{2}+ k\pi, con k \in \mathbb{Z}.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione applicando le regole di duplicazione:

\[\cos 2\alpha \;+\;\operatorname{sin} 2\alpha \;+\; 2\operatorname{sin}^{2}\alpha.\]

Svolgimento.

Ricordiamo

\[\cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha, \qquad \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.\]

Abbiamo dunque

(1) \begin{equation*} \begin{split} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 2\sin^{2}\alpha &=\bigl(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\bigr) +\bigl(2\sin\alpha\cos\alpha\bigr) +2\sin^{2}\alpha \\[4pt] &=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha+2\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha \\[4pt] &=\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha \\[4pt] &=1+\sin 2\alpha. \end{split} \end{equation*}

L’espressione vale quindi 1+\sin 2\alpha; in alternativa, notando che al penultimo passaggio si è ottenuto il quadrato del binomio \cos \alpha + \sin \alpha, si poteva concludere che l’espressione è uguale a

\[ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2. \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione applicando le regole di duplicazione:

\[\cos 2\alpha \;-\; \frac{\cos \alpha\,\sin 2\alpha}{\sin \alpha}.\]

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