Formule di duplicazione – Espressione 3

Formule di duplicazione e bisezione

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione

    \[\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha} - \tan \alpha\]

 

Soluzione. Ricordando le formule di duplicazione

    \[\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha} - \tan \alpha\]

otteniamo

    \[\begin{aligned} \dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha} - \tan \alpha  & = \dfrac{2\sin \alpha \cos\alpha}{1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} - \tan \alpha = \\ & = \dfrac{2\sin \alpha \cos\alpha}{\underbrace{ 	1-\sin^2\alpha}_{=\cos^2\alpha} + \cos^2\alpha} - \tan \alpha = \\  & \overset{\star}{=} \dfrac{2\sin \alpha \cos\alpha}{2\cos^2\alpha} - \tan \alpha = \\ & = \dfrac{\cancel{2} \, \sin \alpha \cancel{\cos\alpha}}{\cancel{2} \, \cos^{\cancel{2}}\alpha} - \tan \alpha = \\ & = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \tan \alpha =\\ & = \tan \alpha - \tan \alpha = \\ & = 0 \end{aligned}\]

dove nel passaggio \star abbiamo utilizzato la prima relazione fondamentale

    \[\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{superiori}{\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha} - \tan \alpha=0 }\]

 


Fonte: Bergamini, Trifone e Barozzi – Matematica Verde