Formule di duplicazione – Espressione 2

Formule di duplicazione e bisezione

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione

    \[\cos 2\alpha - \dfrac{\cos \alpha \cdot \sin 2\alpha}{\sin \alpha}\]

 

Soluzione. Ricordando le formule di duplicazione

    \[\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha \qquad \mbox{e} \qquad \cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

otteniamo

    \[\begin{aligned} \cos 2\alpha - \dfrac{\cos \alpha \cdot \sin 2\alpha}{\sin \alpha}  & = \cos^2\alpha - \sin^2 \alpha - \dfrac{\cos \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos\alpha}{\sin \alpha} = \\ & = \cos^2\alpha - \sin^2 \alpha - \dfrac{\cos \alpha \cdot 2 \cancel{\sin \alpha} \cos\alpha}{\cancel{\sin \alpha}} = \\ & = \cos^2\alpha - \sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha = \\ & = -\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = \\ & = - (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \\ & = -1 \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la prima relazione fondamentale

    \[\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{superiori}{\cos 2\alpha - \dfrac{\cos \alpha \cdot \sin 2\alpha}{\sin \alpha} = -1}\]

 


Fonte: Bergamini, Trifone e Barozzi – Matematica Verde