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Formule di duplicazione – Espressione 1

Formule di duplicazione e bisezione

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione

    \[\cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha\]

 

Soluzione. Ricordando le formule di duplicazione

    \[\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha \qquad \mbox{e} \qquad \cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

otteniamo

    \[\begin{aligned} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2\alpha + 2 \sin\alpha\cos\alpha + 2 \sin^2\alpha = \\ & = \cos^2 \alpha + \sin^2\alpha + 2 \sin\alpha\cos\alpha = \\ & = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{superiori}{\cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 }\]

 


Fonte: Bergamini, Trifone e Barozzi – Matematica Verde