Formule di bisezione: esercizi svolti

Formule di duplicazione e bisezione

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule di bisezione per le funzioni goniometriche.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

Richiami di teoria

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In questi esercizi utilizziamo le formule di bisezione del seno, del coseno e della tangente. Esse si ricavano a partire dalla formula di duplicazione del coseno:

$\cos 2\alpha= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1- 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1,$

dove le ultime due identità si ottengono sostituendo rispettivamente $\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha$ e $-\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - 1$ . Risolvendo rispetto a $\sin \alpha$ e $\cos \alpha$ e chiamando $2\alpha=x$ si ottengono le formule di bisezione rispettivamente del seno e del coseno:

(1) $\begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin \left (\frac{x}{2} \right ) = \pm \sqrt{ \frac{1-\cos x}{2}}, } \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \cos \left (\frac{x}{2} \right ) = \pm \sqrt{ \frac{1+\cos x}{2}}, } \end{equation*}$

dove il segno deve essere scelto in base al quadrante a cui appartiene $\frac{x}{2}$ . Precisamente, e abbastanza tautologicamente, il segno nelle due formule è rispettivamente pari a $\operatorname{sgn} \sin \left (\frac{x}{2} \right )$ e $\operatorname{sgn} \cos \left (\frac{x}{2} \right )$ . La formula di bisezione della tangente si ottiene calcolando il rapporto di tali espressioni per il seno e il coseno:

(3) $\begin{equation*}\boxcolorato{superiori}{ \tan \left ( \frac{x}{2}\right ) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}, } \end{equation*}$

dove nuovamente il segno deve essere scelto in base al quadrante a cui appartiene $\frac{x}{2}$ , in particolare esso è pari a $\operatorname{sgn} \tan \left (\frac{x}{2} \right )$ .

Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per $1-\cos x$ , si ottiene

(4) $\begin{equation*} \tan \left ( \frac{x}{2}\right ) = \operatorname{sgn} \tan \left (\frac{x}{2} \right ) \sqrt{\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}} = \operatorname{sgn} \tan \left (\frac{x}{2} \right ) \cdot \frac{1-\cos x}{(\operatorname{sgn} \sin x)\cdot \sin x}. \end{equation*}$

Poiché è facile verificare che $\operatorname{sgn} \tan \left (\frac{x}{2} \right ) = \operatorname{sgn} \sin x$ , si ottiene una formula senza segni:

(5) $\begin{equation*}\boxcolorato{superiori}{ \tan \left ( \frac{x}{2}\right ) = \frac{1-\cos x}{\sin x}. } \end{equation*}$

Similmente, moltiplicando numeratore e denominatore della frazione in (3) per $1+\cos x$ , si ottiene

(6) $\begin{equation*}\boxcolorato{superiori}{ \tan \left ( \frac{x}{2}\right ) = \frac{\sin x}{1+\cos x}. } \end{equation*}$

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si semplifichi la seguente espressione applicando le formule di bisezione:

$\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cdot\,\cos^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} {1-\cos\alpha}.$

Svolgimento.

Si svolgono i calcoli

$\begin{aligned} \dfrac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cos^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} {1-\cos\alpha} &\overset{\text{(a)}}{=} \dfrac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cos^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} {2\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[6pt] &\overset{\text{(b)}}{=} \tfrac12\,\cos^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \\[6pt] &\overset{\text{(c)}}{=} \tfrac14\,(1+\cos\alpha), \end{aligned}$

dove

$\quad$

si sostituisce il denominatore tramite la formula di bisezione per il seno: $1-\cos\alpha = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr)$ ;

si semplifica il fattore comune $\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr)$ ;

si applica la formula di bisezione per il coseno: $\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr)=\tfrac12\,(1+\cos\alpha)$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si semplifichi la seguente espressione applicando le formule di bisezione:

$\frac{1-2\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} {\sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}.$

Svolgimento.

Si svolgono i calcoli

$\begin{aligned} \dfrac{1-2\sin^{2}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} {\sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} &\overset{\text{(a)}}{=} \dfrac{\cos\alpha} {\sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\,\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[6pt] &\overset{\text{(b)}}{=} \dfrac{\cos\alpha}{\tfrac12\,\sin\alpha} \\[6pt] &= 2\,\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\cot\alpha, \end{aligned}$

dove

$\quad$

si sostituisce il numeratore con $\cos\alpha$ sfruttando l’identità $1-2\sin^{2}x=\cos(2x)$ al valore $x=\tfrac{\alpha}{2}$ ;

si sostituisce il prodotto $\sin\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)$ con $\tfrac12\,\sin\alpha$ usando l’identità $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ .