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Formule di addizione e sottrazione: esercizi svolti

Formule di addizione e sottrazione

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule di addizione e sottrazione in goniometria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Dimostrare che

\[\sin(15^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}.\]

Svolgimento.

Per calcolare il seno di un angolo non notevole dobbiamo cercare di trasformare l’argomento in somma o differenza di angoli notevoli e poi applicare le formule di addizione o sottrazione; in questo caso notiamo che 15^\circ=45^\circ-30^\circ, quindi possiamo procedere in questo modo:

\[ \begin{aligned} \sin(15^\circ)&=\sin(45^\circ-30^\circ)= \\ &= \sin(45^\circ)\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\sin(30^\circ)=\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}= \\ &= \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}, \end{aligned}\]

da cui la tesi.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[\cot(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)+2\dfrac{\sin(-\alpha)\cos(10\pi-\alpha)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)}.\]

Svolgimento.

Prima di procedere alla risoluzione dell’espressione è utile fare una piccola premessa. In alcuni casi è possibile applicare sia le formule di addizione o sottrazione che quelle relative agli archi associati, ad esempio:

\[\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin(\alpha) \end{aligned}\]

oppure

\[\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos(\alpha)-\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\sin(\alpha)=\\ &\hspace{1.5mm}=0\cdot\cos(\alpha)-(-1)\cdot\sin(\alpha)=\sin(\alpha). \end{aligned}\]

Nonostante sia generalmente più semplice utilizzare le formule relative agli archi associati, in questo esercizio spesso useremo le formule di addizione o sottrazione per motivi didattici; iniziamo con le semplificazioni:

\[\quad\]

  • \begin{aligned}[t] \cot(\pi-\alpha)&=\dfrac{\cos(\pi-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)} \\ &= \dfrac{\cos(\pi)\cos(\alpha)+\sin(\pi)\sin(\alpha)}{\sin(\pi)\cos(\alpha)-\cos(\pi)\sin(\alpha)}=\\ &= \dfrac{-1\cdot\cos(\alpha)+0\cdot\sin(\alpha)}{0\cdot\cos(\alpha)-(-1)\cdot\sin(\alpha)}= \\ &= -\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}; \end{aligned}

    •  

  • \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin(\alpha);

    •  

  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);

    •  

  • \cos(10\pi-\alpha)= \cos(-\alpha)=\cos(\alpha);

    •  

  • \begin{aligned}[t] \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(\alpha)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(\alpha)=\\ &=1\cdot\cos(\alpha)-0\cdot\sin(\alpha)= \\ &= \cos(\alpha); \end{aligned}

    •  

  • \begin{aligned}[t] \cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)&=\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{8\pi}{2}\right)= \\ &= \cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}-4\pi\right)=\\ &=\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\\ &=\cos(\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin(\alpha)\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\\ &=\cos(\alpha)\cdot0+\sin(\alpha)\cdot(-1)= \\ &= -\sin(\alpha). \end{aligned}

Adesso torniamo all’espressione e sostituiamo tutti i valori trovati, ottenendo:

\[\begin{aligned} &\cot(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)+2\dfrac{\sin(-\alpha)\cos(10\pi-\alpha)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)}= \\ &=-\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\sin(\alpha)+2\dfrac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(-\sin(\alpha))}= \\ &= 2-\cos(\alpha). \end{aligned}\]

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Sapendo che \tan\alpha=a+1 e \tan\beta=a-1, calcolare il valore di \cot(\alpha-\beta).

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