Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Equazioni goniometriche: esercizi svolti

Esercizi misti equazioni e disequazioni goniometriche

Home » Equazioni goniometriche: esercizi svolti

 
 

Sommario

Leggi...

Raccolta di esercizi di carattere misto sulle equazioni goniometriche.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele VolpeLuigi De Masi>.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 3\sin x + \cos x - 3 = 0. \]

Svolgimento.

Applicando le formule parametriche, poniamo

\[ t=\tan\frac{x}{2},\qquad \sin x = \frac{2t}{1+t^{2}}, \qquad \cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} . \]

Si ottiene

\[ 3\sin x + \cos x - 3 = 3\frac{2t}{1+t^{2}} + \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} - 3 = \frac{-4t^{2} + 6t - 2}{1+t^{2}} = 0 . \]

Poiché il denominatore è sempre diverso da zero, risolviamo il numeratore:

\[ -4t^{2} + 6t - 2 = 0 \iff 2t^{2} - 3t + 1 = 0 . \]

\[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \;\iff\; t=1 \,\,\vee\,\, t=\frac{1}{2}. \]

Per il primo valore otteniamo

\[ t = 1 = \tan\frac{x}{2} \iff \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi ,\qquad k\in\mathbb Z . \]

Per il secondo valore otteniamo

\[ t = \dfrac12 = \tan\frac{x}{2} \iff \frac{x}{2} = \arctan\!\frac12 + k\pi \iff x = 2\arctan\!\frac12 + 2k\pi ,\qquad k\in\mathbb Z . \]

Concludiamo che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{\; \left\{\,x\in\mathbb R \;\mid\; x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \ \vee\ x = 2\arctan\frac12 + 2k\pi,\; k\in\mathbb Z \right\}.\;} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0. \]

Svolgimento.

Poniamo

\[ y = \cos\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right), \]

così l’equazione diventa

\[ 2y^{2}+y-1 = 0 . \]

Risolviamo il trinomio di grado 2:

\[ \Delta = 1^{2}-4\cdot2\cdot(-1) = 9, \qquad y = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4} = \frac{-1\pm3}{4} \iff y = \dfrac12 \,\,\vee \,\, y = -1. \]

Per y_1=\frac12 otteniamo

\[ \cos\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12 \iff x+\frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3}+2k\pi \iff x = 2k\pi\,\,\vee \,\, x = -\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z . \]

Per y_2=-1 otteniamo

\[ \cos\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1 \iff x+\frac{\pi}{3} = \pi+2k\pi \iff x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z . \]

Concludiamo che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{\; \left\{\,x\in\mathbb R\;\mid\; x = 2k\pi \;\vee\; x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi \;\vee\; x = -\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \;k\in\mathbb Z \right\}.\;} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \sin 5x + \sin 3x = \cos 4x + \cos 2x. \]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi