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Disequazioni goniometriche: esercizi svolti

Esercizi misti equazioni e disequazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi di carattere misto sulle disequazioni goniometriche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\sin x + \sqrt{3} \cos x - 1 < 0.\]

Svolgimento.

Dalla formula di addizione del seno la disequazione diventa

\[ \begin{aligned} 2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1<0 &\iff \sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)<\frac12 \\ &\iff -\frac{7\pi}{6}+2k\pi < x+ \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{6}+2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}. \end{aligned} \]

Sommando a tutti i membri -\frac{\pi}{3}, si ottiene la soluzione

\[\boxcolorato{superiori}{ x\in \left(\,2k\pi+\frac{\pi}{2},\; 2k\pi+\frac{11\pi}{6}\right), \qquad k\in\mathbb Z .} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[3 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x \le 0.\]

Svolgimento.

Poiché gli archi x tali che \cos x =0 non soddisfano la disequazione (in quanto \sin^2=1), possiamo assumere che \cos x \neq 0 e dividere per \cos^2x>0 per ottenere la disequazione equivalente

\[ 3\tan^2 x + 2\sqrt{3}\tan x -3 \leq0. \]

Dato che le soluzioni dell’equazione quadratica associata sono

\[ \tan x = \frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{12}}{3} \iff \tan x = -\sqrt{3} \,\,\vee \,\, \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}, \]

la disequazione quadrata è risolta se e solo se

\[ \tan x \leq -\sqrt{3} \,\,\vee \,\, \tan x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}, \]

ovvero

\[\boxcolorato{superiori}{ -\frac{\pi}{2}+k\pi < x \leq -\frac{\pi}{3}+k\pi \,\,\vee \,\, \frac{\pi}{6}+k\pi \leq x < \frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\sqrt{3} \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^2 x \le 0.\]

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