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Equazioni lineari in seno e coseno – Teoria

Equazioni lineari in seno e coseno

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Un’equazione lineare in seno e coseno è del tipo

(1) \begin{equation*} a\cos(x)+b\sin(x)+c=0, \end{equation*}

con a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e c\in\mathbb{R}.

\[\quad\]

Per risolvere questo tipo di equazioni è possibile procedere applicando tre metodi diversi: il metodo algebrico, il metodo grafico e il metodo dell’angolo aggiunto. Di seguito la spiegazione dei tre metodi.

 
 

Metodo algebrico

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Il metodo algebrico consiste nella risoluzione, appunto, algebrica dell’equazione; a seconda che il termine noto c sia nullo o meno si procede tramite due diverse strade.

\[\quad\]

  • Caso c=0. In questo caso (1) diventa

    \[a\cos(x)+b\sin(x)=0.\]

    Dividiamo i membri dell’equazione per \cos(x); la divisione è sempre possibile in quanto se \cos(x)=0, per l’identità fondamentale della goniometria si ha \sin(x)=\pm1 e quindi a\cdot(\pm1)=0 che data la non nullità di a è sempre falsa. L’equazione dunque diventa

    \[a\left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(x)}\right)+b\left(\dfrac{\sin \left(x\right)}{\cos(x)}\right)=0 \iff a+b\tan(x)=0,\]

    da cui

    \[\tan(x)=-\dfrac{a}{b},\]

    cioè

    \[x=\arctan\left(-\dfrac{a}{b}\right)+k\pi=-\arctan\left(\dfrac{a}{b}\right)+k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}.\]

    Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{-\arctan\left(\dfrac{a}{b}\right)+k\pi \colon k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]

    •  

  • Caso c\neq0. In questo caso possiamo avvalerci delle forme parametriche del seno e coseno, ovvero:

    \[\sin(x)=\dfrac{2t}{t^2+1},\quad\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{t^2+1},\]

    dove abbiamo posto t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) e \dfrac{x}{2}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi ovvero x\neq\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.

    Applicando dunque le formule parametriche all’equazione (1) si ottiene

    \[\begin{aligned} a\left(\dfrac{1-t^2}{t^2+1}\right)+b\left(\dfrac{2t}{t^2+1}\right)+c=0 & \iff \dfrac{a-at^2+2bt+ct^2+c}{t^2+1}=0 \\ & \iff \dfrac{t^2(c-a)+2bt+a+c}{t^2+1}=0. \end{aligned}\]

    Notiamo che t^2+1\neq 0 per ogni t\in\mathbb{R}, dunque è possibile moltiplicare ambo i membri dell’equazione per il termine t^2+1 eliminando il denominatore, e riducendo l’equazione ad un’equazione di secondo grado completa:

    \[t^2(c-a)+2bt+a+c=0.\]

    Calcoliamo il delta della formula ridotta o ridottissima:

    \[\dfrac{\Delta}{4}=b^2-(c-a)(c+a)=b^2-\left(c^2-a^2\right)=a^2+b^2-c^2\]

    e quindi

    \[t_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{(c-a)}.\]

    Da qui, applicando la funzione inversa della tangente, possiamo ricavare le soluzioni dell’equazione (1).


Osservazione 1.

Per poter trasformare seno e coseno con le formule parametriche abbiamo escluso gli angoli x=\pi+2k\pi che però potrebbero essere soluzione dell’equazione; per questo, prima di applicare la risoluzione, dobbiamo controllare se questi angoli siano o meno soluzioni sostituendo nell’equazione e ottenendo:

\[a\cdot(-1)+b\cdot 0+c=0 \iff a=c.\]

Pertanto si può concludere che la soluzione \mathbb{S} dell’equazione (1) è

\[\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}= \begin{cases} \left\{2\arctan\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{(c-a)}\right)+2k\pi, \colon k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{\pi+2k\pi \colon k\in\mathbb{Z}\right\} &\text{se }a=c,\\\\ \left\{2\arctan\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{(c-a)}\right)+2k\pi \colon k\in\mathbb{Z}\right\} &\text{se }a\neq c, \end{cases} }\]

dove \Delta=a^2+b^2-c^2. Di seguito qualche esempio.


 
 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0.\]

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