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Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari: esercizi svolti

Equazioni goniometriche elementari

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni goniometriche che possono essere ricondotte a equazioni di tipo elementare.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2\cos^2 x - \cos x = 0. \]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo

\[\begin{aligned} 2\cos^{2}x - \cos x = 0 &\iff \cos x\,\left(2\cos x - 1\right) = 0\\ &\iff \cos x = 0 \quad\text{oppure}\quad 2\cos x - 1 = 0\\ &\iff x = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x = \frac{\pi}{3}+2k\pi \,\,\vee\,\, x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}\]

Concludiamo che la soluzione è

\[ \boxcolorato{superiori}{\left\{\,x\in\mathbb{R}\mid x=\frac{\pi}{2}+k\pi \;\lor\; x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \;\lor\; x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2\sin^2 x - 1 = 0. \]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo

\[ \begin{aligned} 2\sin^{2}x - 1 = 0 &\iff \sin^{2}x = \frac12\\ &\iff \sin x = \pm\frac{\sqrt2}{2}. \end{aligned} \]

Si ha

\[ \sin x = \frac{\sqrt2}{2}. \iff x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{oppure}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}, \]

mentre

\[ \sin x = -\frac{\sqrt2}{2} \iff x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{oppure}\quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Concludiamo che la soluzione è

\[ \boxcolorato{superiori}{\,\left\{\,x\in\mathbb{R}\mid x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb{Z}\right\}.\,} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \cos^2 x + \sin^2 2x = 1. \]

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