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Equazioni goniometriche elementari: esercizi svolti

Equazioni goniometriche elementari

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni goniometriche elementari, cioè che si basano su semplici manipolazioni algebriche per ricondursi a equazioni del tipo \sin x= a, \cos x=a oppure \tan x=a, facilmente risolubili grazie ai valori notevoli delle funzioni goniometriche, consultabili ad esempio in [1, Valori notevoli di seno, coseno e tangente], oppure a \sin x=\sin y e analoghe, risolubili grazie alle proprietà di base delle funzioni goniometriche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[2\sin x + 2 = 3\sin x + 4.\]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo

\[\begin{aligned} 2\sin x + 2 &= 3\sin x + 4 \\ 2 &= \sin x + 4 \\ -2 &= \sin x. \end{aligned}\]

Poiché per ogni x\in\mathbb{R} vale -1\le \sin x \le 1, l’uguaglianza \sin x = -2 è impossibile. Ne segue che l’equazione non ammette soluzioni reali.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2\sin 3x - 1 = 0. \]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo

\[\begin{aligned} \sin 3x &= \frac12 \end{aligned}\]

Per la funzione seno vale:

\[ \sin y = \frac12 \iff y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \,\,\vee\,\, y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Ponendo y = 3x otteniamo:

\[ 3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \]

oppure

\[ 3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Concludiamo che la soluzione è

\[ \boxcolorato{superiori}{\displaystyle\left\{\,x\in\mathbb{R}\mid x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\ \lor\ x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\; k\in\mathbb{Z}\right\}.} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = 0. \]

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